定理：
对于任意的矩阵 A ∈ R n × m A \in R^{n\times m} A∈Rn×m，有 ∥ A ∥ 2 2 = ∥ A T A ∥ 2 \left\|A\right\|_2^2=\left\|A^TA\right\|_2 ∥A∥22= ATA 2
证明：
假设矩阵 A T A A^TA ATA最大特征值为 λ \lambda λ，即 ∥ A ∥ 2 2 = λ \left\|A\right\|_2^2=\lambda ∥A∥22=λ，设 λ \lambda λ对应的特征向量为 x x x，则有:
A T A x = λ x A^TAx=\lambda x ATAx=λx同时可以得到以下等式：
( A T A ) A T A x = λ A T A x = λ 2 x (A^TA)A^TAx=\lambda A^TAx=\lambda ^2x (ATA)ATAx=λATAx=λ2x上式表明 λ 2 \lambda ^2 λ2同时是 ( A T A ) A T A (A^TA)A^TA (ATA)ATA的特征值，而根据上一篇文章，可以知道 ∥ A T A ∥ 2 ≤ ∥ A T ∥ 2 ∥ A ∥ 2 = ∥ A ∥ 2 2 = λ \left\|A^TA\right\|_2\le \left\|A^T\right\|_2\left\|A\right\|_2=\left\|A\right\|_2^2=\lambda ATA 2≤ AT 2∥A∥2=∥A∥22=λ，所以可知 ∥ A T A ∥ 2 = λ 2 = λ \left\|A^TA\right\|_2=\sqrt {{\lambda}^2} = \lambda ATA 2=λ2 =λ，故 ∥ A ∥ 2 2 = ∥ A T A ∥ 2 \left\|A\right\|_2^2=\left\|A^TA\right\|_2 ∥A∥22= ATA 2成立，定理得证。
