目录

一、引言

二、线性代数

1、基和线性无关性

2、转置、共轭和伴随矩阵

①线性算子

②转置

③共轭

④伴随

一、引言

从上一篇文章中，我们发现量子力学的学习不能没有数学，就像西方不能没有耶路撒冷。牢固掌握基本线性代数知识是理解好量子力学的基础。不过小编建议，不大了解量子力学的读者可以先学习后边的内容，等到有一些公式和数学符号看不懂的时候，再来看看这篇文章的数学理论知识，借助这部分知识再继续学习。

线性代数研究线性空间及其上的线性算子，它的基本概念是向量空间，我们最感兴趣的向量空间是所有n元复数组成的向量空间。本篇文章我们将学习线性代数的一些基本概念。

二、线性代数

1、基和线性无关性

向量空间的生成集是向量集|>、|>······|>，则该向量空间中的任意一个向量|v>都可以写成该向量集中向量的线性组合|。

例如，向量空间的生成集是|>=;|>=,由于向量空间中的任意向量|v>=都可以写成向量|>、|>的线性组合|v>=a|>+b|>，所以我们说向量|>、|>张成了向量空间。

一般的，一个向量空间可以有不同的生成集。例如向量空间的生成集还可以为，。它们也能表示出任意的二维列向量。大家可以自己验证一下它们如何唯一的表示出|v>=。

对于非零向量集|>、|>······|>，若存在一个复数集合a1，a2，·······an，其中至少一个，使得，则称其是线性无关的，否则是线性相关的。这种集合为向量空间V的一组基。基中的元素个数称为向量空间的维数。

为了方便大家理解，读者们可以做一个小题目练练手。

证明：（1,-1），（1,2），（2,1）是线性相关的。

2、转置、共轭和伴随矩阵

①线性算子

向量空间V和W之间的线性算子， 定义为对输入具有线性性质的映射A：VW：,当我们说定义在线性空间V上的线性算子A时，意味着A是一个从V到W的线性算子。

在任意的向量空间V上，一个重要的线性算子是恒等算子，定义为（|v>）=|v>。就好比现在的国足一样，无论怎么努力，就是进不了世界杯，永恒不变。

另一个比较重要的算子是零算子，用0表示，零算子能把所有的向量都映射为零向量，就像一个黑洞一样，能把靠近它的算子吸入黑洞，变成黑洞的一部分。

请大家求出此题：假设V是一个向量空间，基向量是|0>和|1>。线性算子A是从V到V的线性算子，使得A|0>=|1>,A|1>=|0>,请求出线性算子A。

②转置

设A，即m×n阶矩阵(即m行n列)，并且它的第i 行j 列的元素是a(i,j)，即:A=a(i,j)

定义A的转置为：存在一个n×m阶矩阵B，满足B=a(j,i)，即 b (i,j)=a (j,i)(B的第i行第j列元素是A的第j行第i列元素)，记=B。

直观来看，将A的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到A的转置。即(j,k)=A(k,j)。

它具有下列性质：

①（幂等性）

②（和的转置等于转置的和）

③ （系数提出）

③共轭

设A，即m×n阶矩阵(即m行n列)，并且它的第i 行j 列的元素是a(i,j)，即:A=a(i,j)

定义A的共轭为：存在一个m×n阶矩阵B，满足B的第i行第j列元素是A的第i行第j列元素的共轭，记=B。

直观来看，将A的所有元素的虚数部分求相反数，即(j,k)=A(j,k)。

它具有下列性质：

①=A（幂等性）

②（和的共轭等于共轭的和）

③（系数共轭处理后可以提出）

④伴随

可以把伴随想象成转置与共轭的结合。

设A，即m×n阶矩阵(即m行n列)，并且它的第i 行j 列的元素是a(i,j)，即:A=a(i,j)

定义A的伴随为：存在一个n×m阶矩阵B，满足B=，即 b (i,j)=(B的第i行第j列元素是A的第j行第i列元素的共轭)，记=B。

直观来看，将A的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到A的转置。即(j,k)=。例如我们有：

它具有下列性质：

①（幂等性）

②（和的伴随等于伴随的和）

③（系数共轭后可以提出）

请大家自行证明这些性质加强理解！

其中，伴随引出的最重要的两个矩阵之一是厄尔米特矩阵，它满足（该矩阵的伴随仍然是自己），比如说，下面这个矩阵就是一个标准的厄尔米特矩阵。

另一重要矩阵是酉矩阵，它满足，In为单位阵。比如说，对任意的θ，下面这个矩阵仍然是酉矩阵。利用三角函数基本性质可以很容易的证明出来。

好了，本期的量子计算先导课程就到这里了，如果后面还有一些量子计算相关的知识，小编会在这篇文章继续补充的，感谢您的关注！