赋范空间与巴拿赫空间

线性空间建立了元素间的线性运算，而有时还需元素的度量。距离是任两元素间一种度量，而范数则是每个元素自己（或与0元素间）的度量。

范数与赋范空间

范数

与距离的条件相比，第(2)条变成了α\alphaα常数（线性）的可拆。距离的第(2)条则是对称性。

赋范空间

与距离空间类似，线性赋范空间同样是与空间一起定义。

范数与距离的关系

证明：赋范空间到距离空间

如上，只需证明∣∣x−y∣∣||x-y||∣∣x−y∣∣满足距离的性质即可。如果∣∣x−y∣∣||x-y||∣∣x−y∣∣是距离，则称∣∣x−y∣∣||x-y||∣∣x−y∣∣是由范数导出的距离。

可以理解为：赋范空间是一种特殊的距离空间。

如上，在赋范空间中依然有收敛、柯西列概念。

巴拿赫空间

完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间，简称B-空间。

如上，我们早就证明过，如果距离为∣x−y∣|x-y|∣x−y∣、∑(xi−yi)2\sqrt{\sum(x_i-y_i)^2}∑(xi​−yi​)2​等距离下，空间是完备的。对于赋范空间，同理。

引理：空间中一线性无关组，存在常数下界

上述式子中值得注意的是，α1x1+...+αnxn=0\alpha_1 x_1 + ... + \alpha_n x_n = 0α1​x1​+...+αn​xn​=0时，因为x1,...,xnx_1,...,x_nx1​,...,xn​线性无关，所以必有α1=...=αn=0\alpha_1=...=\alpha_n=0α1​=...=αn​=0，所以成立。

性质：任意有限维赋范空间均是B-空间

下面是证明。

思路与证明某个距离空间完备依旧相同：

任取柯西列，转化为一维元素的关系一维元素是柯西列，并且有先决条件一维空间一定完备则一维元素收敛则带入，高维柯西列收敛

此外，要注意：

我们这里应用了任意有限维这一性质这意味着有式子∣∣α1x1+...+αnxn∣∣≥C(∣α1∣+...+∣αn∣)||\alpha_1 x_1 + ... + \alpha_n x_n|| \ge C(|\alpha_1| + ... + |\alpha_n|)∣∣α1​x1​+...+αn​xn​∣∣≥C(∣α1​∣+...+∣αn​∣)可以用在有限维XXX中，任意不同的范数是等价的