一元二次方程根与系数的关系是九年级数学的重要知识点,也是中考数学的经典题型,本文就例题详细解析这类题型的经典解题思路,希望能给初三同学的数学学习带来帮助。
例题1
已知关于x的一元二次方程mx^2-3(m+1)x+2m+3=0。
(1)如果该方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;
(2)在(1)的条件下,当该方程的根都是整数,且|x|<4时,求m的整数值。
1、求m的取值范围
根据根的判别式和题目中的条件:一元二次方程为mx^2-3(m+1)x+2m+3=0,则
△=[3(m+1)]^2-4m*(2m+3)
=m^2+6m+9
=(m+3)^2≥0;
根据题目中的条件、结论:当△>0时,一元二次方程有两个不相等的实数根,则m≠-3;
根据一元二次方程的系数要求:当m≠0时,此方程为一元二次方程;
所以,符合条件的m的取值范围为m≠-3且m≠0。
2、求m的整数值
根据一元二次方程的求根公式和题目中的条件:方程mx^2-3(m+1)x+2m+3=0,则方程的两个根分别为x1=[3(m+1)+(m+3)]/2m=2+3/m,x2=[3(m+1)-(m+3)]/2m=1;
根据题目中的条件:m为整数,x1=2+3/m为整数,则m=1、-1、3、-3;
根据结论:m的取值范围为m≠-3且m≠0,则m=-3不符合条件,舍去;
根据题目中的条件:|x|<4,则当m=1时,x1=5不符合条件,舍去;
所以,符合条件的m的取值为-1或3。
例题2
已知x1,x2是关于x的一元二次方程x^2-2(m+1)x+m^2+5=0的两个根。
(1)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值;
(2)已知等腰三角形ABC一边的长为7,若x1,x2恰好是三角形ABC另外两边的长,求这个三角形的周长。
1、求m的值
根据根的判别式和题目中的条件:一元二次方程为x^2-2(m+1)x+m^2+5=0,则△=[2(m+1)]^2-4(m^2+5)=8m-16;
根据题目中的条件、结论:当△≥0时,一元二次方程有两个实数根,△=8m-16,则8m-16≥0,即m≥2;
根据韦达定理和题目中的条件:方程x^2-2(m+1)x+m^2+5=0,方程的两个根为x1、x2,则x1+x2=2(m+1),x1*x2=m^2+5;
把代数式(x1-1)(x2-1)进行变换可得:
(x1-1)(x2-1)
=x1*x2-(x1+x2)+1;
把x1+x2=2(m+1),x1*x2=m^2+5代入变换后的代数式,可得:
x1*x2-(x1+x2)+1=m^2+5-2(m+1)+1=m^2-2m+4;
根据题目中的条件和结论:(x1-1)(x2-1)=28,(x1-1)(x2-1)=m^2-2m+4,则m^2-2m+4=28,可求得m=6,m=-4;
根据结论:m≥2时方程有两个根,则m=-4不符合条件,舍去;
所以,符合条件的m的值为6。
2、求三角形的周长
(1)当等腰三角形的底边为7时
根据题目中的条件:等腰三角形的两条腰为方程x^2-2(m+1)x+m^2+5=0的两个根,则方程有两个相等的根;
根据题目中的条件、结论:当△=0时,一元二次方程有两个相等的实数根,△=8m-16,则8m-16=0,即m=2;
根据结论:m=2,则方程为x^2-6x+9=0,可求得方程的根为x1=x2=3;
根据三角形三边长的关系:三角形的两边之和大于第三边,等腰三角形的三边为3,3,7,则3+3<7,不符合条件,舍去;
(2)当等腰三角形的腰为7时
根据题目中的条件:等腰三角形的另一条腰7是方程x^2-2(m+1)x+m^2+5=0的一个根,则49-14(m+1)+m^2+5=0,可求得m=10,m=4;
当m=10时,方程为x^2-22x+105=0,可求得两个根为x1=7,x2=15;
根据三角形三边长的关系:三角形的两边之和大于第三边,等腰三角形的三边为7,7,15,则7+7<15,不符合条件,舍去;
当m=4时,方程为x^2-10x+21=0,可求得两个根为x1=7,x2=3;
根据三角形三边长的关系:三角形的两边之和大于第三边,等腰三角形的三边为7,7,3,则符合条件;
根据周长的计算公式和结论:等腰三角形的三边为7,7,3,则等腰三角形的周长=7+7+3=17;
所以,符合条件的等腰三角形的周长为17。
结语
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系应用相当广泛,只有根据题意进行合理地代数式变换求解,再结合方程根的情况进行判定推理,才能得到符合题意的结果,牢固掌握并灵活运用这些知识点,为数学中考取得高分加油助力!