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圆与特殊三角形相结合的几何证明计算题是初中几何的难题,也是数学中考经常会出现的一类题型,本文就例题详细解析这类题型的解题思路,在复习迎考的最后阶段,希望能给考生们带来帮助。
例题
如图,点P在y轴的正半轴上,⊙P交x轴于B、C两点,以AC为直角边作等腰Rt△ACD,BD分别交y轴和⊙P于E、F两点,连接AC、FC。
(1)求证:∠ACF=∠ADB;
(2)若点A到BD的距离为m,BF+CF=n,求线段CD的长;
(3)当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时,DE/AO的值是否发生变化?若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理由。
1、证明∠ACF=∠ADB
连接AB
根据圆周角定理和题目中的条件:同弧所对的圆周角相等,∠ACF与ABF所对的圆弧相同,则∠ACF=∠ABF。
根据垂径定理和题目中的条件:垂直于弦的直径平分弦,AO在⊙P的直径上,BC⊥AO,则BO=CO。
根据中垂线定理、题目中的条件和结论:中垂线上的点到线段两端的距离相等,BC⊥AO,BO=CO,则AB=AC。
根据等腰直角三角形的性质和题目中的条件:△ACD为等腰直角三角形,则AC=AD。
根据结论:AB=AC,AC=AD,则AB= AD。
根据等腰三角形的性质和结论:等腰三角形的底角相等,AB= AD,则∠ABF=∠ADB。
根据结论:∠ABF=∠ADB,∠ACF=∠ABF,则∠ADB=∠ACF。
2、求线段CD的长
根据等腰三角形的性质和题目中的条件:等腰三角形的底角相等,△ACD为等腰直角三角形,则∠ADC=∠ACD。
根据结论:∠ADC=∠ACD,∠ADB=∠ACF,∠FDC=∠ADC-∠ADB,∠FCD=∠ACD-∠ACF,则∠FDC=∠FCD。
根据等边对等角的逆定理和结论:三角形中相等的角所对的边相等,∠FDC=∠FCD,则FC=FD。
根据题目中的条件和结论:BF+CF=n,FC=FD,则BF+ FD =n。
根据题目中的条件和结论:BD= BF+ FD,BF+ FD =n,则BD=n。
过A点作AG⊥BD,交BD于G
根据题目中的条件:点A到BD的距离为m,AG⊥BD,则AG=m。
根据题目中的条件和结论: AB= AD, AG⊥BD,BD=n则DG=BD/2=n/2。
根据勾股定理和结论:AD=AG+DG,AG=m,DG=n/2,则AD=√(m+n/4)。
根据等腰直角三角形的三边关系和结论:CD=√2AD,AD=√(m+n/4),
则CD=√(2m+n/2)。
3、求DE/AO的值
过点D作DH⊥y轴,交y轴于H,连接AF
根据题目中的条件:∠ DAC=90°,∠OAC+∠ DAC+∠ DAH=180°,则∠OAC+∠ DAH=90°。
根据题目中的条件: AO⊥BC,DH⊥y轴,则∠ AOC=∠ DHA=90°。
根据题目中的条件和结论:∠ AOC=90°,∠OAC+∠ AOC+∠OCA=180°,则∠OAC+∠OCA=90°。
根据结论:∠OAC+∠ DAH=90°,∠OAC+∠OCA=90°,则∠ DAH=∠OCA。
根据全等三角形的判定定理和结论:两组角及其夹边相等的两个三角形全等,∠ AOC=∠ DHA,CA =AD,∠OCA=∠ DAH,则△AOC≌△DHA。
根据全等三角形的性质和结论:全等三角形的对应边相等,△AOC≌△DHA,则AO=DH。
根据全等三角形的判定定理和结论:三组边分别相等的两个三角形全等,AC=AD,CF=CD,AF=AF,则△ACF≌△ADF。
根据全等三角形的性质和结论:全等三角形的对应角相等,△ACF≌△ADF,则∠CAF=∠ DAF。
根据题目中的条件和结论:∠CAF+∠ DAF=90°,∠CAF=∠ DAF,则∠CAF=45°。
根据圆周角定理和结论:同弧所对的圆周角相等,∠CAF与∠CBF所对的是同弧,∠CAF=45°,则∠CBF=∠CAF=45°。
根据题目中的条件和结论:∠CBF+∠BEO+∠BOE=180°,∠BOE=90°,∠CBF=45°,则∠BEO=45°。
根据对顶角的关系和结论:对顶角相等,∠BEO=45°,则∠DEA=∠BEO=45°。
根据结论:∠ DHA=90°,∠DEA =45°,则△DEH为等腰直角三角形。
根据等腰三角形的三边关系和结论:△DEH为等腰直角三角形, DE/DH=√2,AO=DH,则DE/AO=√2。
结语
圆与特殊三角形相结合的几何证明计算题的解题思路:
认真审题,根据题目中给出的条件,确定图形中的特殊三角形;
利用特殊三角形的性质,得到相关的边与角之间的数量位置关系;
结合圆周角定理、垂径定理等,得到其他相关的边与角之间的数量位置关系。