折叠问题是初中几何的重要题型,也是中考数学试卷中的常客,本文就例题详细解析特殊几何图形的折叠问题的解题思路,希望能给新初三学生的暑假复习带来帮助。
例题
如图,在矩形ABCD中,E是AB边的中点,沿EC对折矩形ABCD,使B点落在点P处,折痕为EC,连结AP并延长交CD于F点.
(1)求证:四边形AECF为平行四边形;
(2)若△AEP是等边三角形,连结BP,求证:△APB≌△EPC;
(3)若矩形ABCD的边AB=6,BC=4,求△CPF的面积。
1、证明:四边形AECF为平行四边形
根据题目中的条件:△EPC是△EBC沿EC对折得到的,则∠PEC=∠BEC,PE=BE;
根据题目中的条件:E是AB边的中点,则AE=BE;
根据结论:PE=BE,AE=BE,则PE=AE;
根据等边对等角的性质和结论:PE=AE,则∠APE=∠PAE;
根据题目中的条件和结论:∠AEP+∠PEC+∠BEC=180°,∠PEC=∠BEC,则∠BEC=(180°-∠AEP)/2;
根据题目中的条件和结论:∠AEP+∠APE+∠PAE=180°,∠APE=∠PAE,则∠PAE=(180°-∠AEP)/2;
根据结论:∠BEC=(180°-∠AEP)/2,∠PAE=(180°-∠AEP)/2,则∠BEC=∠PAE;
根据平行线的判定和结论:同位角相等,两直线平行,∠BEC=∠PAE,则AF∥EC;
根据矩形的性质和题目中的条件: 矩形的两组对边分别平行,四边形ABCD是矩形,则AB∥DC;
根据平行四边形的判定和结论:两组对边分别平行的四边形为平行四边形,AF∥EC,AB∥DC,则四边形AECF为平行四边形。
2、证明:△APB≌△EPC
根据等边三角形的性质和题目中的条件:等边三角形的三边相等,三个角都是60°,△AEP是等边三角形,则AE=AP=PE,∠APE=∠PAE=60°;
根据平行四边形的性质和结论:两直线平行内错角相等,AF∥EC,则∠APE=∠PEC;
根据结论:∠APE=∠PAE,∠APE=∠PEC,则∠PAE =∠PEC;
根据结论:AE=PE,AE=BE,则PE=AE=BE;
根据直角三角形的判定和结论:斜边上的中线等于斜边的一半的三角形为直角三角形,PE=AE=BE,则△APB为直角三角形;
根据结论:△APB为直角三角形,则∠APB=90°;
根据矩形的性质和题目中的条件:矩形的四个角为直角,四边形ABCD是矩形,则∠ABC=90°;
根据题目中的条件:△EPC是△EBC沿EC对折得到的,则∠EPC=∠ABC;
根据结论:∠ABC=90°,∠EPC=∠ABC,则∠EPC =90°;
根据结论:∠APB=90°,∠EPC =90°,则∠APB=∠EPC;
根据全等三角形的判定和结论:两组对应角及其夹边分别相等的三角形为全等三角形,∠APB=∠EPC,AP=PE,∠PAE =∠PEC,则△APB≌△EPC。
3、求△CPF的面积
过P点作PG⊥DC,交DC于G
根据结论:∠ABC=90°,∠APB=90°,则∠ABC=∠APB;
根据三角形相似的判定和结论:两组角分别相等的三角形为相似三角形,∠ABC=∠APB,∠BEC=∠PAE,则△BEC∽△PAB;
根据相似三角形的性质和结论:相似三角形的对应边成比例,△BEC∽△PAB,则BE/PA=EC/AB;
根据勾股定理和题目中的条件:BE=AB/2,AB=6,BC=4,EC=BE+BC,则EC=5;
根据结论:BE/PA=EC/AB,BE=3,AB=6,EC=5,则PA=18/5;
根据平行四边形的性质:平行四边形的对边相等,四边形AECF为平行四边形,则AF=EC;
根据题目中的条件和结论:EC=5,AF=EC,PA=18/5,PF=AF-PA,则AF=5,PF=7/5;
根据矩形的性质和题目中的条件:矩形的四个角为直角,四边形ABCD是矩形,则∠ADC=90°,即AD⊥DC;
根据题目中的条件和结论:PG⊥DC,AD⊥DC,则PG∥AD;
根据平行线分线段成比例定理和结论:平行于三角形一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例,PG∥AD,则PF/AF=PG/AD;
根据结论:PF=7/5,AF=5,AD=4,则PG=28/25;
根据平行四边形的性质和结论:平行四边形的对边相等,四边形AECF为平行四边形,则CF=AE;
根据结论:AE=AB/2,CF=AE,AB=6,则CF=3;
根据三角形的面积计算公式和结论:CF=3,PG=28/25,S△CPF=CF*PG/2=42/25。
结语
解决折叠问题的关键是折叠以后形成的图形与原图形的边、角之间的数量关系,解题过程中必须灵活运用全等三角形、相似三角形、直角三角形、等腰三角形、矩形、平行四边形等特殊几何图形的性质,只有认真审题、仔细分析,才能轻松应对这类题型,为中考数学取得高分加油助力。