问题补充:
解答题已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,且短轴的一个端点到左焦点F的距离是,经过点F且不垂直于x轴的直线l交椭圆C于A,B两点.点O为坐标原点.
(I)求椭圆C的标准方程;
(II)在线段OF上存在点M(m,0)(点M不与点O,F重合),使得以MA,MB为邻边的平行四边形MANB是菱形,求m的取值范围.
答案:
解:(Ⅰ)因为短轴的一个端点到左焦点点F的距离是,离心率为,
所以a=,c=1????????
所以b2=a2-c2=1
所以椭圆C的标准方程是??????????????????…(4分)
(Ⅱ)因为直线l与x轴不垂直,且交椭圆C于A,B两点,所以设直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0)
代入椭圆方程,消去y可得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=
因为以MA,MB为邻边的平行四边形MANB是菱形,所以.
所以(x1+x2-2m,y1+y2)?(x2-x1,y2-y1)=0
因为x1≠x2,
所以(x1+x2-2m)+k2(x2+x1+2)=0.
所以(-2m)+k2(+2)=0.
所以.
因为k≠0,所以.
所以m的取值范围是.…(14分)解析分析:(Ⅰ)利用短轴的一个端点到左焦点点F的距离是,离心率为,可求椭圆几何量,从而可得椭圆C的标准方程;(Ⅱ)设直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0)代入椭圆方程,消去y可得一元二次方程,利用以MA,MB为邻边的平行四边形MANB是菱形,可得,从而可得,由此可得m的取值范围.点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用,正确运用韦达定理是关键.