问题补充:
解答题已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数且a≠0)满足f(1-x)=f(1+x),且方程f(x)=x有等根.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设g(x)=1-2f(x)(x>1)的反函数为g-1(x),若g-1(22x)>m(3-2x)对x∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
答案:
解:(1)∵f(1-x)=f(1+x),
∴函数的对称轴为x=1,即=1
∵方程f(x)=x有等根,∴△=(b-1)2=0
∴b=1,a=-
∴.
(2)由(1)得g(x)=x2-2x+1,
当x>1时,y=(x-1)2>0?x=1+?g-1(x)=1+(x>0),
∵g-1(22x)>m(3-2x)对x∈[1,2]恒成立,
即1+2x>m(3-2x)对x∈[1,2]恒成立,
令t=2x,则(m+1)t+1-3m>0,对t∈[2,4]恒成立,
∴
?-5<m<3.解析分析:(1)先由f(1-x)=f(1+x)得函数对称轴,再由方程f(x)=x有等根,得方程f(x)=x的判别式等于零,最后解方程即可;(2)由(1)得出g(x)的解析式,再将x用y表示,最后交换x、y,即可求出反函数的解析式,从而得1+2x>m(3-2x)对x∈[1,2]恒成立,t=2x,转化成关于t的一次函数恒成立问题,根据函数在[2,4]上的单调性建立不等式,从而求出所求.点评:本题考查了二次函数解析式的求法,解题时要熟练掌握二次函数的图象特征,还考查了反函数,以及反函数与原函数的之间的关系,同时考查了恒成立问题和最值问题,是一道综合题.