问题补充:
解答题已知函数f(x)=inx-a(x-1),a∈R
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)当x≥1时,f(x)≤恒成立,求a的取值范围.
答案:
(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),,
若a≤0,则f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,…(2分)
若a>0,则由f′(x)=0,得x=,
当x∈(0,)时,f′(x)>0,
当x∈时,f′(x)<0,
∴f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)单调递减.
所以当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,
当a>0时,f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)单调递减.…(4分)
(Ⅱ)f(x)-=,
令g(x)=xlnx-a(x2-1),(x≥1),
g′(x)=lnx+1-2ax,令F(x)=g′(x)=lnx+1-2ax,
,…(6分)
①或a≤0,F′(x)>0,g′(x)在[1,+∞)递增,
g′(x)≥g′(1)=1-2a>0,
∴g(x)在[1,+∞)递增,g(x)≥g(1)=0,
从而f(x)-不符合题意.…(8分)
②若0<a<,当x∈(1,),F′(x)>0,
∴g′(x)在(1,)递增,
从而g′(x)>g′(1)=1-2a,
∴g(x)在[1,+∞)递增,g(x)≥g(1)=0,
从而f(x)-不符合题意.…(10分)
③若a,F′(x)≤0在[1,+∞)恒成立,
∴g′(x)在[1,+∞)递减,g′(x)≤g′(1)=1-2a≤0,
从而g9x)在[1,+∞)递减,
∴g(x)≤g(1)=0,f(x)-≤0,
综上所述,a的取值范围是[).…(12分)解析分析:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),,若a≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递增;若a>0时,f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)单调递减.(Ⅱ)f(x)-=,令g(x)=xlnx-a(x2-1),(x≥1),g′(x)=lnx+1-2ax,令F(x)=g′(x)=lnx+1-2ax,,由此进行分类讨论,能求出实数a的取值范围.点评:本题考查函数的单调性的求法,考查满足条件的实数的取值范围的求法.综合性强,难度大,有一定的探索性,对数学思维的要求较高,解题时要注意导数性质的合理运用.