问题补充:
解答题椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为.点P(1,)、A、B在椭圆E上,且+=m(m∈R).
(1)求椭圆E的方程及直线AB的斜率;
(2)当m=-3时,证明原点O是△PAB的重心,并求直线AB的方程.
答案:
解:(1)设椭圆方程为(a>b>0)
∵椭圆的离心率为,点P(1,)在椭圆E上,
∴=及
∴a2=4,b2=3,
∴椭圆方程为;
设A(x1,y1)、B(x2,y2),由得(x1+x2-2,y1+y2-3)=m(1,),即
又,,
两式相减得;
(2)由(1)知,点A(x1,y1)、B(x2,y2)的坐标满足,
点P的坐标为(1,),m=-3,于是x1+x2+1=3+m=0,y1+y2+=3++=0,
因此△PAB的重心坐标为(0,0).即原点是△PAB的重心.
∵x1+x2=-1,y1+y2=-,∴AB中点坐标为(,),
又,,两式相减得;
∴直线AB的方程为y+=(x+),即x+2y+2=0.解析分析:(1)设椭圆方程为(a>b>0),利用椭圆的离心率为,点P(1,)在椭圆E上,可求几何量,从而可得椭圆方程,设A(x1,y1)、B(x2,y2),由,结合点差法,即可求得直线AB的斜率;(2)证明△PAB的重心坐标为(0,0)即可,确定AB中点坐标,点差法求直线AB的斜率,即可求得直线AB的方程.点评:本题考查椭圆的标准方程,考查向量知识的运用,考查点差法求直线的斜率,正确运用椭圆方程是关键.