问题补充:
解答题已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)是定义在R上的奇函数,且x=-1时,函数f(x)取极值1.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)令g(x)=-mx+m,若x1,x2∈[0.m](m>0),不等式f(x1)-g(x2)≤0恒成立,求m的取值范围;
(Ⅲ)曲线y=f(x)上是否存在两个不同的点A、B,使过A、B两点的切线都垂直于直线AB?若存在,求出A、B的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(Ⅰ)∵f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)是定义R上的奇函数
∴f(-x)=-f(x)恒成立,即bx2=0对于x∈R恒成立,
∴b=0
∴f(x)=ax3+cx,∴f′(x)=3ax2+c
∵x=-1时,函数f(x)取极值1.
∴f′(-1)=0且f(-1)=1.
∴,
∴a=,c=-.
∴
(Ⅱ)不等式f(x1)-g(x2)≤0恒成立,只需f(x)max-g(x)min≤0即可.
∵函数g(x)在[0,m]上单调递减,∴g(x)min=g(m)=-m2+m
又,,
由f′(x)>0得x<-1或x>1;f′(x)<0得-1<x<1,
故函数f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,
则当x=1时,f(x)取得极小值,
在(0,+∞)上,当=f(0)时,x=,
①当0<m≤时,f(x)max=f(0)=0,
则f(x)max-g(x)min=0-(-m2+m)=m2-m≤0,
解得,故此时0<m≤
②当m>时,f(x)max=f(m)=,
则f(x)max-g(x)min=-(-m2+m)=≤0,
解得-4≤m≤2,故此时.
综上所述,实数m的取值范围是(0,2];
(Ⅲ)假定存在A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
∵,过A、B两点的切线平行,∴f′(x1)=f′(x2),得=
∵x1≠x2,∴x2=-x1,则y2=-y1,且知x1≠0,
∴=,
由于过A点的切线垂直于直线AB,∴=-1
∴3-12+13=0,则△=-12<0,∴关于x1的方程无解.
故曲线上不存在两个不同的点A、B,使过A、B两点的切线都垂直于直线AB.解析分析:(Ⅰ)欲求f(x)的解析式,只需找到关于a,b,c的三个等式,求出a,b,c的值,根据函数的奇偶性可得到一个含等式,根据x=-1时,取得极值1,可知函数在x=-1时,导数等于0,且x=-1时,函数值等于1,又可得到两个含a,b,c的等式,三个等式联立,解出a,b,c即可;(Ⅱ)不等式f(x1)-g(x2)≤0恒成立,只需f(x)max-g(x)min≤0即可;(Ⅲ)先假设存在两个不同的点A、B,使过A、B的切线都垂直于AB,则切线斜率与AB斜率互为负倒数,又因为函数在A,B点处的切线斜率时函数在该点处的导数,就可得到含A,B点的坐标的方程,解方程,若方程有解,则假设成立,若方程无解,则假设不成立.点评:本题考查函数的解析式,考查函数导数与函数切线斜率之间的关系,考查恒成立问题,属于中档题.