问题补充:
解答题动圆P过定点F(1,0)且与直线x=-1相切,圆心P的轨迹为曲线C,过F作曲线C两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CD的中点分别为M、N.
(1)求曲线C的方程;
(2)求证:直线MN必过定点.
答案:
解:(1)∵动圆P过定点F(1,0)且与直线x=-1相切,
∴点P到定点F的距离等于到定直线x=-1的距离,
∴点P的轨迹为抛物线,曲线C的方程为y2=4x;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-1),代入y2=4x可得k2x2-2(k2+2)x+k2=0
∴x1+x2=
∴xM=,∴yM=k(xM-1)=
∴M(,)
∵AB⊥CD,∴将M坐标中的k换成-,可得N(2k2+1,-2k)
∴直线MN的方程为y+2k=(x-2k2-1)
整理得(1-k2)y=k(x-3)
∴不论k为何值,直线MN必过定点T(3,0).解析分析:(1)由动圆P过定点F(1,0)且与直线x=-1相切,可得点P到定点F的距离等于到定直线x=-1的距离,利用抛物线的定义,可求曲线C的方程;(2)求出M,N的坐标,可得直线MN的方程,即可得到结论.点评:本题主要考查抛物线的定义,考查直线恒过定点,确定直线的方程是关键.