问题补充:
解答题已知函数f(x)=a-.
(1)求证:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
答案:
解:(1)证明:当x∈(0,+∞)时,f(x)=a-,
设0<x1<x2,则x1x2>0,x2-x1>0.
f(x1)-f(x2)=(a-)-(a-)=-
=<0.∴f(x1)<f(x2),
即f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(2)由题意a-<2x在(1,+∞)上恒成立,
设h(x)=2x+,则a<h(x)在(1,+∞)上恒成立.
可证h(x)在(1,+∞)上单调递增.
故a≤h(1),即a≤3,∴a的取值范围为(-∞,3].解析分析:(1)先根据定义域确定函数,再选择证明方法,不妨用定义法,则先在(0,+∞)上任取两个变量,且界定其大小,再作差变形看符号.(2)先将“a-<2x在(1,+∞)上恒成立”转化为“a<2x+,在(1,+∞)上恒成立”则只需a<(2x+)min即可.点评:本题主要考查函数单调性的证明和应用函数单调性解决恒成立问题,证明时,也用单调性定义也可以用导数法,应用时一般是求函数的最值.