问题补充:
解答题已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且经过点M(4,1),直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B.
(1)求椭圆的方程;
(2)求m的取值范围.
答案:
解:(1)∵,
∴,依题意设椭圆方程为:,把点(4,1)代入,得b2=5,
∴椭圆方程为.(5分)
(2)把y=x+m代入椭圆方程得:5x2+8mx+4m2-20=0,
∵直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B,
∴△=64m2-4×5(4m2-20)>0,整理得m2<25,
∴-5<m<5.(10分)解析分析:(1)由椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为=,可求得=,可设椭圆的方程为:,再把点M(4,1),代入即可;(2)把y=x+m代入椭圆方程,整理,利用△>0即可求得m的取值范围.点评:本题考查直线与圆锥曲线的关系,着重考查待定系数法求椭圆的方程及方程思想与化归思想,属于中档题.