问题补充:
解答题已知函数f(x)=ln(ax+1)+x3-x2-ax.
(Ⅰ)若为f(x)的极值点,求实数a的值;
(Ⅱ)若y=f(x)在[1,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)若a=-1使,方程有实根,求实数b的取值范围.
答案:
解:(I)=
∵的极值点,∴,∴,∴a=0
又当a=0时,f(x)=x(3x-2),从而的极值点成立.
(II)因为f(x)在[1,+∞)上为增函数,
所以上恒成立.(6分)
若a=0,则f(x)=x(3x-2),∴f(x)在[1,+∞)上为增函数不成产‘
若a≠0,由ax+1>0对x>1恒成立知a>0.
所以3ax2+(3-2a)x-(a2+2)≥0对x∈[1,+∞)上恒成立.
令g(x)=3ax2+(3-2a)x-(a2+2),其对称轴为,
因为,从而g(x)在[1,+∞)上为增函数.
所以只要g(1)≥0即可,即-a2+a+1≥0
所以又因为(10分)
(III)若a=-1时,方程
可得
即b=xlnx-x(1-x)2+x(1-x)=xlnx+x2-x3在x>0上有解
即求函数g(x)=xlnx+x2-x3的值域.
法一:b=x(lnx+x-x2)令h(x)=lnx+x-x2
由∵x>0∴当0<x<1时,h(x)>0,
从而h(x)在(0,1)上为增函数;
当x>1时,h(x)<0,从而h(x)在(1,+∞)上为减函数.
∴h(x)≤h(1)=0,而h(x)可以无穷小.∴b的取值范围为(-∞,0](15分)
法二:g(x)=lnx+1+2x-3x2
当,所以上递增;
当,所以上递减;
又∴当0<x<x0时,g(x)<0,
所以g(x)在0<x<x0上递减;当x0<x<1时,g(x)>0,
所以g(x)在x0<x<1上递增;当x>0时,g(x)<0,所以g(x)在x>1上递减;
又当x→+∞时,g(x)→-∞,
当x→0时,,则g(x)<0,且g(1)=0所以b的取值范围为(-∞,0]解析分析:(I)根据极值点的信息,我们要用导数法,所以先求导,则的极值点,则有从而求得结果.(II)由f(x)在[1,+∞)上为增函数,则有f′(x)≥0,x∈[1,+∞)上恒成立求解.(III)将a=-1代入,方程,可转化为b=xlnx+x2-x3,x>0上有解,只要求得函数g(x)=xlnx+x2-x3的值域即可.点评:本题主要考查导数在求最值和极值中的应用,变形与转化是导数法解题中的关键.