问题补充:
解答题(文科做)已知曲线f(x)=x3+bx2+cx+d经过原点(0,0),且直线y=0与y=-x均与曲线c:y=f(x)相切.
(1)求f(x)的解析式;?????????
(2)在b∈R+时,求函数y=f(x)的极值.
答案:
解:(1)若y=x3+bx2+cx+d过点(0,0),则d=0,∴y=x3+bx2+cx.
设y=-x与y=x3+bx2+cx切于点(x0,y0),则即,
若x0=0时,则c+1=0;
若x0≠0时,则则2x02+bx0=0,∵x0≠0,,则有,将代入x02+bx0+c+1=0中得到:.
故c=-1或.
设y=0与y=x3+bx2+cx切于点(x1,y1),则,即,
若x1=0时,有c=0;
若x1≠0时,则则2x12+bx1=0,∴代3x12+2bx1+c=0中得到
故c=0或.
在c=-1时,不可能成立,舍c=-1.
在c=0时,,则b=±2,故所是解析式为y=x3±2x2.
(2)在b>0时,y=x3+2x2,y′=3x2+4x=x(3x+4)
由y′>0得??? f(x)的单增区间是(-∞,),(0,+∞)
由y′=0 得x=-或x=0
由y′<0得?,f(x)的单减区间是(,0)
?在时取极大值.,x=0时取得极小值 f(0)=0解析分析:(1)易得出d=0,y=x3+bx2+cx.设y=-x与y=x3+bx2+cx切于点(x0,y0),则有如下三个关系:①点(x0,y0)在y=-x上,②点(x0,y0)在y=x3+bx2+cx上 ③f′(x0)=-1以x0为桥梁得出b,c关系或数值.同样地再通过y=-x均与曲线c:y=f(x)相切.最后确定b,c的值,得出解析式.?(2)利用函数导数与单调性的关系,求出的单调区间,再求极值.点评:本题考查导数的几何意义,函数导数与单调性的关系,函数极值求解,是常规题.