问题补充:
解答题已知函数.
(1)判断f(x)在定义域上的单调性;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为2,求a的值.
答案:
解:(1)由题意得f(x)的定义域为(0,+∞),.(0,+∞)
①当a≥0时,f(x)>0,故f(x)在上为增函数;
②当a<0时,由f(x)=0得x=-a;由f(x)>0得x>-a;由f(x)<0得x<-a;
∴f(x)在(0,-a]上为减函数;在(-a,+∞)上为增函数.
所以,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上是增函数;当a<0时,f(x)在(0,-a]上是减函数,在(-a,+∞)上是增函数.
(2)∵,x>0.由(1)可知:
①当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上为增函数,f(x)min=f(1)=-a=2,得a=-2,矛盾!
②当0<-a≤1时,即a≥-1时,f(x)在(0,+∞)上也是增函数,f(x)min=f(1)=-a=2,∴a=-2(舍去).
③当1<-a<e时,即-e<a<-1时,f(x)在[1,-a]上是减函数,在(-a,e]上是增函数,
∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=2,得a=-e(舍去).
④当-a≥e时,即a≤-e时,f(x)在[1,e]上是减函数,有,
∴a=-e.
综上可知:a=-e.解析分析:(1)先确定f(x)的定义域为(0,+∞),再求导,由“f(x)>0,f(x)为增函数f(x)<0,f(x)在为减函数”判断,要注意定义域和分类讨论.(2)因为,x>0.由(1)可知①当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上为增函数,f(x)min=f(1)当0<-a≤1时,即a≥-1时,f(x)在(0,+∞)上也是增函数,f(x)min=f(1)③当1<-a<e时,即-e<a<-1时,f(x)在[1,-a]上是减函数,在(-a,e]上是增函数,f(x)min=f(-a)④当-a≥e时,即a≤-e时,f(x)在[1,e]上是减函数,f(x)min=f(e)最后取并集.点评:本题主要考查用导数法研究函数的单调性,基本思路是:当函数为增函数时,导数大于等于零;当函数为减函数时,导数小于等于零,已知单调性求参数的范围时,往往转化为求相应函数的最值问题.