问题补充:
解答题已知函数,y=f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R)
(I?)要使f(x)在(0,1)上单调递增,求a的取值范围;
(II)当a>0时,若函数f(x)的极小值和极大值分别为1、,试求函数y=f(x)的解析式;
III?若x∈[0,1]时,y=f(x)图象上任意一点处的切线倾斜角为θ,当≤θ≤.时,求a的取值范围.
答案:
解:(I)f′(x)=-3x2+2ax,
由题设,当x∈(0,1)时,f′(a)>0恒成立,
即-3x2+2ax>0恒成立,
∴恒成立,
∴
(II)由(I)得,令f′(x)=-3x2+2ax=0
则x=0,或x=
又∵a>0时,函数f(x)的极小值和极大值分别为1、,
故f(0)=1,f=
解得a=1,b=1
∴f(x)=-x3+x2+1
(III)当x∈[0,1]时,tanθ=f′(x)=-3xh3+2ax
∵.∴0≤f(x)≤1.
∴0≤-3x2+2ax≤1
在x∈[0,1]恒成立,由(1)知,当-3x2+2ax≥0时,,
由 恒成立,
又 ,∴
∴解析分析:(I)先求导函数f′(x),要使f(x)在区间(0,1)上单调递增,只需x∈(0,1)时,f′(x)>0恒成立,然后转化成 恒成立,即可求出a的范围;(II)由(I)中导函数的解析式,我们易求出函数取极值时x的值,然后根据函数f(x)的极小值和极大值分别为1、,构造关于a,b的方程,解方程后即可求出函数y=f(x)的解析式;(III)根据导数的几何意义可知tanθ=f′(x),然后根据倾斜角为θ的范围求出f′(x)的范围在x∈[0,1]恒成立,将a分离出来,使之恒成立即可求出a的范围.点评:本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识,考查灵活运用转化与划归的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力,属于中档题.