问题补充:
已知椭圆的离心率为,且经过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l:y=kx+t(k≠0)交椭圆C于A、B两点,D为AB的中点,kOD为直线OD的斜率,求证:k?kOD为定值;
(3)在(2)条件下,当t=1时,若的夹角为锐角,试求k的取值范围.
答案:
解:(1)根据题意有:
解得:
∴椭圆C的方程为=1
(2)联立方程组
消去y得:(4+k2)x2+2kx+t2-4=0①
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点坐标为(x0,y0)
则有:
∴,故为定值
(3)当t=1时,①式为(4+k2)x2+2kx-3=0
故
∴y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1
∴
若的夹角为锐角,则有,
即,解得,且k≠0,
∴当k∈时,的夹角为锐角
解析分析:(1)根据离心率求得n和m的关系式,同时把点P代入椭圆方程求得n和m的另一关系式,联立求得n和m,则椭圆的方程可得.(2)把直线与椭圆方程联立消去y,利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2,进而表示出AB中点的坐标,最后分别表示出两条直线的斜率,求得k?kOD为定值(3)把t=1代入(2)中的方程,根据x1+x2和x1x2的表达式,求得x1x2+y1y2的表达式,若的夹角为锐角,则有进而求得k的范围.
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.
已知椭圆的离心率为 且经过点.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l:y=kx+t(k≠0)交椭圆C于A B两点 D为AB的中点 kOD为直线OD的斜率 求证:k?kO