问题补充:
解答题已知函数f(x)=ax3+bx2+cx-3a(a,b,c∈R且a≠0),当x=-1时,f(x)取到极大值2.
(1)用a分别表示b和c;
(2)当a=l时,求f(x)的极小值;
(3)求a的取值范围.
答案:
解:(1)∵函数f(x)=ax3+bx2+cx-3a,∴f′(x)=3ax2 +2bx+c.
由题意可得 ,即 ,解得 .
(2)当a=l时,b=2,c=1,函数f(x)=x3 +2x2 +x-3,
令f′(x)=3x2 +4x+1=(3x+1)(x+1)=0,可得x=-1 x=-.
在(-∞,-1)、(-,+∞)上,f′(x)<0,在(-1,-)上f′(x)>0,
故当 x=-时,函数f(x)有极小值为f(-)=.
(3)由(1)得f′(x)=3ax2+2(a+1)x+2-a=3a(x+1)(x-),
令f′(x)=0解得x1=-1,x2=,
∴要使f(x)极大值为f(-1)=2,
则 ,或 .
解得 a>.解析分析:(1)求出函数的导函数,由已知在x=-1处f(x)取得极大值2,代入可得方程组进一步得到a,b,c的关系.(2)当a=l时,令f′(x)=0,可得x=-1 x=-.根据f′(x)的符号可得当 x=-时,函数f(x)有极小值为f(-).(3)在(1)的基础上得到函数f(x)的导数f′(x)=3ax2+2(a+1)x+2-a,由已知要使函数f(x)有极大值需要对二次项系数a和极值点进行讨论,易得结论.点评:本题考查了函数的导数,导数的几何意义,以及利用导数解答函数的极值问题,考查了二次函数的性质,综合考查了函数的零点以及分类讨论的数学思想,属于基础题.