问题补充:
解答题已知定义域在R上的单调函数,存在实数x0,使得对于任意的实数x1,x2总有f(x0x1+x0x2)=f(x0)+f(x1)+f(x2)恒成立.
(1)求x0的值;
(2)若f(1)=1,且对于任意的正整数n,有an=,bn=f+1
(Ⅰ)若Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1,求Sn;
(Ⅱ)若Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1,求Tn.
答案:
解:(1)令x1=x2=0,得f(0)=f(x0)+2f(0),∴f(x0)=-f(0)①
令x1=1,x2=0,得f(x0)=f(x0)+f(1)+f(0),∴f(1)=-f(0)②
由①②得f(x0)=f(1)
又∵f(x)是单调函数,
∴x0=1
(2)由(1)可得 f(x1+x2)=f(1)+f(x1)+f(x2)+1
则f(n+1)=f(n)+f(1)+1=f(n)+2
又∵f(1)=1
∴f(n)=2n-1 (n∈N*),
∴an=
∴Sn=++…+=(1-+-+…+-)=(1-)
又∵f(1)=f(+)=f+f+f(1),∴f=0,∴b1=f+1=1
∵f=f(+)=f+f+f(1)=2f+1
∴bn=f+1=2f+2=2bn+1
∴=
∴bnbn+1=×=×
∴Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1==解析分析:(1)利用赋值法,先令?x1=x2=0,再令?x1=1,x2=0,代入已知恒等式即可(2)令 x1=n,x2=1,代入已知恒等式,即可发现数列{f(n)}为等差数列,从而可用裂项求和的方法求Sn;利用f=f(+)代入恒等式,即可发现数列{bn}为等比数列,利用等比数列前n项和公式即可求得Tn.点评:本题考查了函数与数列的综合应用能力,抽象函数表达式的应用,等差等比数列的定义,裂项求和的技巧及等比数列的前n项和公式