问题补充：
解答题曲线y=f（x）=ax3+bx2+cx，当时，f（x）有极小值，当处有极大值，且在x=1处切线的斜率为．
（I）求f（x）；
（II）曲线上是否存在一点P，使得y=f（x）的图象关于点P中心对称？若存在，请求出点P坐标，并给出证明；若不存在，请说明理由．
答案：
解：（I）f′（x）=3ax2+2bx+c
∵当时，f（x）有极小值，当处有极大值
∴f′（1±）=0
即1±为方程3ax2+2bx+c=0的两根
∴-=（1+）+（1-）
=（1+）（1-）
∴b=-3a，c=-6a
又f（x）在x=1处切线的斜率为．
∴f′（1）=
∴3a+2b+c=
∴a=-，b=，c=1
∴f（x）=-x3+x2+x
（II）假设存在P（x0，y0）满足则f（x0+x）+f（x0-x）=2y0，
∴-（x0+x）3+（x0+x）2+（x0+x）-（x0-x）3+（x0-x）2+（x0-x）=2y0，
化简得（1-x0）x2+x02+2x0-x03=2y0，
∵上式任意x∈R等式成立
∴
∴x0=1，y0=
∴曲线上存在P（1，）满足题意解析分析：（I）根据1±是极值点可知f′（1±）=0，以及f′（1）=建立方程组，解之即可；（II）假设存在P（x0，y0）满足则f（x0+x）+f（x0-x）=2y0，代入函数解析式，化简整理可求出所求．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数在某点取得极值的条件，同时考查了方程组的解法，属于中档题．
