解答题已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d 当x=-3和x=1时 f（x）取得极值

问题补充：

解答题已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d，当x=-3和x=1时，f（x）取得极值．

（1）求b，c的值；

（2）若对任意x∈[-4，2]，都有f（x）≥-6d2成立，试求d的取值范围．

答案：

解：（1）f′（x）=3x2+2bx+c，（2分）

∵当x=-3和x=1时，f（x）取得极值．∴f′（3）=0，f′（1）=0，（4分）

，解得，b=3，c=-9．（6分）

（2）由（1）知f（x）=x3+3x2-9x+d，

f′（x）=3x2+6x-9? f′（x）＞0，3x2+6x-9＞0，解得 x＜-3或x＞1，

∵x∈[-4，2]∴f（x）的增减区间、极值、端点值情况如下表：

x-4（-4，-3）-3（-3，1）1（1，2）2f′（x）+0-0+f（x）20+d递增极大值27+d递减极小值d-5递增2+d对任x∈[-4，2]，都有f（x）≥-6d2成立，只需f（x）在[-4，2]上的最小值f（x）min≥-6d2．

∴d的取值应满（12分）

解不等式组得，d≤-1或d≥，

∴d的取值范围是（-∞，-1）∪[，+∞）（14分）解析分析：（1）若函数f（x）在一点取极值，则函数在此点的导数值为0，且在两侧的导数值符号相反．（2）若在此区间上不等式恒成立，只需要最小值大于-6d2即可．利用导数确定函数的单调性，并利用单调性确定在此区间上的最小值．∈点评：利用导数确定函数的单调性，利用单调性解决最值问题．注意在极值的两侧导数的符号是相反的．