问题补充:
已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线y=x与椭圆C在第一象限相交于点A,试探究在椭圆C上存在多少个点B,使△OAB为等腰三角形.(简要说明理由,不必求出这些点的坐标)
答案:
解:(1)由于短轴一个端点到右焦点的距离为3,则a=3…(1分),
因为…(2分),所以…(3分),
所以b2=a2-c2=9-6=3…(4分),
所以椭圆C的方程为:…(5分)
(2)直线方程与椭圆方程联立(x>0),解得,即…(6分)
以O为顶点的等腰三角形△OAB有两个,此时B为A关于x轴或y轴的对称点…(8分),
以A为顶点的等腰三角形△OAB有两个(9分),此时B为以A为圆心、AO为半径的圆弧与椭圆C的交点…(10分),
以AO为底边的等腰三角形△OAB有两个(11分),此时B为AO的垂直平分线与椭圆C的交点…(12分).
因为直线y=x倾斜角为,所以以上等腰△OAB不可能是等边三角形…(13分),
即以上6个三角形互不相同,存在6个点B,使△OAB为等腰三角形…(14分).
解析分析:(1)根据椭圆C:(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为3,确定a,c,利用b2=a2-c2,求出b2,从而可以求椭圆C的方程;(2)直线方程与椭圆方程联立,确定A的坐标,进而分类讨论,探究椭圆C上存在的点B,使△OAB为等腰三角形.
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查学生的探究能力,考查分类讨论的数学思想,属于中档题.
已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为 短轴一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C的方程;(2)直线y=x与椭圆C在第一象限相交于点A 试探究在椭圆C上存在多少个点