问题补充:
已知函数f(x)=mx+xlnx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l与直线x+2y=1垂直.
(1)求直线l的方程;
(2)若n(2x-1)<f(x)对任意恒成立,求实数n的取值范围;
(3)当b>a>1时,证明(ab2b)n>(ba2a)b.
答案:
(1)解:求导函数f′(x)=m+lnx+1,
∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l与直线x+2y=1垂直.
∴f′(1)=m+1=2,∴m=1
∵f(1)=1,∴直线l的方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1;
(2)解:由(1)知,f(x)=x+xlnx,
n(2x-1)<f(x)对任意恒成立,等价于n<对任意恒成立,
令g(x)=,则g′(x)=
令h(x)=2x=lnx-2,则h′(x)=
∴h(x)在(,+∞)上单调递增
∵h(1)=0
∴当时,h(x)<0,∴g′(x)<0,
当x>1时,h(x)>0,∴g′(x)>0,
∴g(x)=在上单调递减,在(1,+∞)上单调递增
∴g(x)min=g(1)=1
∴n<1,即实数n的取值范围是(-∞,1)
(3)证明:由(2)知,g(x)=在(1,+∞)上单调递增
∴当b>a>1时,>
∴b(2a-1)(1+lnb(>a(2b-1)(1+lna)
∴2ablnb+alna>2ablna+blnb+(b-a)
∵b>a,∴2ablnb+alna>2ablna+blnb
∴lnb2ab+lnaa>lna2ab+lnbb
∴ln(b2abaa)>ln(a2abbb)
∴(ab2b)n>(ba2a)b.
解析分析:(1)求导函数,利用曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l与直线x+2y=1垂直,求得m的值,从而可求直线l的方程;(2)n(2x-1)<f(x)对任意恒成立,等价于n<对任意恒成立,求出右边函数的最小值,即可得到实数n的取值范围;(3)由(2)知,g(x)=在(1,+∞)上单调递增,从而可得当b>a>1时,>,由此可得结论成立.
点评:本题考查导数知识的运用,考查恒成立问题,考查函数的最值,考查不等式的证明,解题的关键是求导函数,求得函数的单调性与最值.
已知函数f(x)=mx+xlnx 曲线y=f(x)在点(1 f(1))处的切线l与直线x+2y=1垂直.(1)求直线l的方程;(2)若n(2x-1)<f(x)对任意恒