问题补充:
已知函数f(x)=[2sin(x+)+sinx]cosx-sin2x,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若任意x∈[0,],使不等式恒f(x)>m成立,求实数m的取值范围.
答案:
解:(1)f(x)=[2sin(x+)+sinx]cosx-sin2x
=(2sinx+cosx)cosx-×
=sin2x+×-×
=sin2x+cos2x=2sin(2x+)
∴函数f(x)的最小正周期为=π;
(2)∵0≤x≤,∴≤2x+≤,可得sin(2x+)∈[-,1]
因此,f(x)=2sin(2x+)的值域为[-1,2]
∵不等式恒f(x)>m对于x∈[0,]恒成立,
∴m小于f(x)的最小值,可得m<-1,
由此可得实数n的取值范围是(-∞,-1)
解析分析:(1)利用两角和的正弦公式和二倍角的三角函数公式,化简整理得f(x)=2sin(2x+),再由三角函数周期公式即可算出函数f(x)的最小正周期;(2)根据正弦函数的图象与性质,可得当x∈[0,]时,f(x)的最小值为-1,而不等式f(x)>m恒成立,说明m要小于f(x)的最小值,由此即得实数m的取值范围.
点评:本题给出三角函数式,求函数的最小正周期和值域,着重考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识,属于中档题.
已知函数f(x)=[2sin(x+)+sinx]cosx-sin2x x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若任意x∈[0 ] 使不等式恒f(x)>m成立