已知函数．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）用定义证明．

问题补充：

已知函数．

（1）判断函数f（x）的单调性；

（2）用定义证明．

答案：

解：（1）f（x）在（0，2]上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．

证明（2）设0＜x1＜x2≤2，则

因0＜x1＜x2≤2，所有x1-x2＜0，，所以f（x1）-f（x2）＞0，

即?f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（0，2]上单调递减．

设2＜x1＜x2，则

因2＜x1＜x2，所有x1-x2＜0，，所以f（x1）-f（x2）＜0，

即?f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（2，+∞）上单调递增．

解析分析：（1）根据对勾函数的图象和性质，我们易判断出函数f（x）在（0，2]上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．（2）设0＜x1＜x2≤2，根据x1-x2＜0，，可得f（x1）-f（x2）＞0，进而根据减函数的定义得到函数f（x）在（0，2]上单调递减；设2＜x1＜x2，根据x1-x2＜0，，可得f（x1）-f（x2）＜0，进而根据增函数的定义得到函数f（x）在（0，2]上单调递增．

点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，其中熟练掌握定义法（作差法）证明函数单调性的方法和步骤是解答本题的关键．