问题补充:
已知二次函数f(x)=ax2+bx满足条件:①对任意x∈R,均有f(x-4)=f(2-x)?②函数f(x)的图象与y=x相切.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(x)=2f(x)-18x+q+3是否存在常数t?(t≥0),当x∈[t,10]时,g(x)的值域为区间D,且D的长度为12-t,若存在,请求出t值,若不存在,请说明理由(注:[a,b]的区间长度为b-a).
答案:
解:(1)由①,a(x-4)2+b(x-4)=a(2-x)2+b(2-x),
∴(2x-6)(-2a+b)=0,
∴b=2a??
由②,ax2+(2a-1)x=0的两根相等,
∴a=,b=1.
∴f(x)=x2+x.
(2)g(x)=x2-16x+q+3.
∵0≤t<10,f(x)在区间[0,8]上是减函数,在区间[8,10]上是增函数,且其图象的对称轴是x=8.
①当0≤t≤6时,在区间[t,10]上,f(t)最大,f(8)最小,
∴f(t)-f(8)=12-t,即t2-15t+52=0,
解得t=,
∴t=;
②当6<t≤8时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(8)最小,
∴f(10)-f(8)=12-t,解得t=8;
③当8<t<10时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(t)最小,
∴f(10)-f(t)=12-t,即t2-17t+72=0,
解得t=8(舍去)或t=9.
综上可知,存在常数t为,8,9,满足题意
解析分析:(1)①对任意x∈R,均有f(x-4)=f(2-x),反映了函数的对称性;?②函数f(x)的图象与y=x相切,等价于ax2+(2a-1)x=0的两根相等,从而可求f(x)的解析式;(2)g(x)=x2-16x+q+3.由于0≤t<10,f(x)在区间[0,8]上是减函数,在区间[8,10]上是增函数,且其图象的对称轴是x=8.故可分类讨论:①当0≤t≤6时,在区间[t,10]上,f(t)最大,f(8)最小;②当6<t≤8时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(8)最小;③当8<t<10时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(t)最小,故可求常数t的值.
点评:本题以函数的性质为载体,考查函数的解析式,考查函数的单调性,考查分类讨论的数学思想,有一定的综合性.
已知二次函数f(x)=ax2+bx满足条件:①对任意x∈R 均有f(x-4)=f(2-x)?②函数f(x)的图象与y=x相切.(1)求f(x)的解析式;(2)若g(x