问题补充:
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为实数a不为零),且同时满足下列条件:
(1)f(-1)=0;
(2)对于任意的实数x,都有f(x)-x≥0;
(3)当x∈(0,2)时有.
①求f(1);
②求a,b,c的值;
③当x∈[-1,1]时,函数g(x)=f(x)-mx(m∈R)是单调函数,求m的取值范围.
答案:
解:(1)当x=1时,由 f(1)-1≥0,且=1,∴f(1)=1.
(2)设二次函数为f(x)=ax2+bx+c,由f(-1)=0可得a-b+c=0,
而f(1)=1,∴.
又f(x)-x≥0,∴ax2+bx+c-x≥0,化简得 ax2+(b-1)x+c≥0,
∴a>0且(b-1)2-4ac≤0,把 ,代入化简可得 ,
∴.
(3)由上可得 f(x)=,∴-mx=,
因为函数g(x)在[-1,1]上单调可知,-≤-1,或-≥1,
解得m≤0,或m≥1.故m的取值范围是{m|m≤0,或m≥1}.
解析分析:(1)当x=1时,根据f(1)-1≥0,且=1,可得f(1)=1.(2)由f(-1)=0 和f(1)=1,可得 b==a+c,再由f(x)-x≥0,可得 a=c=.(3)由上可得 f(x)=,求出g(x)的解析式,由函数g(x)在[-1,1]上单调可知,有-≤-1,或-≥1,解不等式求得m的取值范围.
点评:本题考查求函数的值的方法,二次函数的单调性的应用,体现了分类讨论的数学思想,求出a,b,c的值,是解题的关键.
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a b c为实数a不为零) 且同时满足下列条件:(1)f(-1)=0;(2)对于任意的实数x 都有f(x)-x≥0;(3)当x