对于定义在D上的函数y=f（x） 若同时满足①存在闭区间[a b]?D 使得任取x1∈[a b]

问题补充：

对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足①存在闭区间[a，b]?D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c（c是常数）；②对于D内任意x2，当x2?[a，b]时总有f（x2）＞c；则称f（x）为“平底型”函数．

（1）判断f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函数？简要说明理由；

（2）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-k|+|t+k|≥|k|?f（x），（k∈R，k≠0）对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；

（3）若是“平底型”函数，求m和n的值．

答案：

解：（1）f1（x）=|x-1|+|x-2|是“平底型”函数，

存在区间[1，2]使得f1（x）=1，在区间[1，2]外，f1（x）＞1，

f2（x）=x+|x-2|不是“平底型”函数，

∵在（-∞，0]上，f2（x）=2，在（-∞，0]外，f2（x）＞2，（-∞，0]不是闭区间．

（2）若|t-k|+|t+k|≥|k|?f（x），（k∈R，k≠0）对一切t∈R恒成立

即? f（x）≤|-1|+|+1|，

∵|-1|+|+1|的最小值是2，∴f（x）≤2，

又由f（x）=|x-1|+|x-2|，得 x∈[0.5，2.5]时，f（x）≤2，故x的范围是[0.5，2.5]．

（3）∵是“平底型”函数

x2+2x+n=（mx-c）2

则m2=1，-2mc=2，c2=n；解得m=1，c=-1，n=1，①，或m=-1，c=1，n=1，②

①情况下，f（x）=是“平底型”函数；

②情况下，f（x）=不是“平底型”函数；

综上，当m=1，n=1时，为“平底型”函数．

解析分析：（1）考查函数是否全部具备“平底型”函数的定义中的2个条件：①在一个闭区间上，函数值是个常数，②在闭区间外的定义域内，函数值大于此常数．（2）要使一个式子大于或等于f（x）恒成立，需使式子的最小值大于或等于f（x）即可，从而得到f（x）≤2，结合“平底型”函数f（x）的图象可得，当x∈[0.5，2.5]时，f（x）≤2成立．（3）假定函数是“平底型”函数，则函数解析式应满足“平底型”函数的2个条件，化简函数解析式，检验“平底型”函数的2个条件同时具备的m、n值是否存在．

点评：本题的考点是函数恒成立问题，综合考查函数概念及构成要素，及不等式中的恒成立问题，体现等价转化和分类讨论的数学思想，关键是对新概念的理解．

对于定义在D上的函数y=f（x） 若同时满足①存在闭区间[a b]?D 使得任取x1∈[a b] 都有f（x1）=c（c是常数）；②对于D内任意x2 当x2?[a b