已知函数f（x）=（x-a）2ex a∈R（I）求f（x）的单调区间；（II）证明：当a∈[-1 3]

问题补充：

已知函数f（x）=（x-a）2ex，a∈R

（I）求f（x）的单调区间；

（II）证明：当a∈[-1，3]，x∈（-∞，1]时，f（x）≤4e．

答案：

（Ⅰ）解：f′（x）=2（x-a）ex+（x-a）2ex=（x-a）[x-（a-2）]ex．…（2分）

令f′（x）=0，得x1=a-2，x2=a．

当x变化时，f′（x）、f（x）的变化如下：

x（-∞，a-2）a-2（a-2，a）a（a，+∞）f′（x）+0-0+f（x）↗极大值↘极小值↗所以f（x）的单调递增区间是（-∞，a-2），（a，+∞），单调递减区间是（a-2，a）．…（6分）

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得[f（x）]极大=f（a-2）=4ea-2．

（1）当a≤1时，f（x）在（-∞，1]上的最大值为f（a-2）或f（1），

由f（a-2）=4ea-2≤4e；f（1）=（a-1）2e≤4e，解得-1≤a≤1，即-1≤a≤1时，f（x）≤4e；

（2）当a-2≤1＜a，即1＜a≤3时，f（x）在（-∞，1]上的最大值为f（a-2），

此时f（a-2）=4ea-2≤4e3-2=4e；

综上，当a∈[-1，3]，x∈（-∞，1]时，f（x）≤4e．…（12分）

解析分析：（Ⅰ）求导函数，由导数的正负，确定函数的单调区间；（Ⅱ）当x∈（-∞，1]时，由（Ⅰ）知f（x）在（-∞，1]上的最大值为f（a-2）或f（1），从而可证得结论．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性

已知函数f（x）=（x-a）2ex a∈R（I）求f（x）的单调区间；（II）证明：当a∈[-1 3] x∈（-∞ 1]时 f（x）≤4e．