问题补充:
已知中心在原点,长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点(0,),离心率为,左、右焦点分别为F1和F2.
(1)求椭圆方程;
(2)点M在椭圆上,求△MF1F2面积的最大值;
(3)试探究椭圆上是否存在一点P,使,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)由题意设椭圆标准方程为.
由已知得,.(2分)
则,∴.解得a2=6(4分)
∴所求椭圆方程为(5分)
(2)令M(x1,y1),则(7分)
∵点M在椭圆上,∴,故|y1|的最大值为(8分)
∴当时,的最大值为.(9分)
(3)假设存在一点P,使,
∵,∴,(10分)
∴△PF1F2为直角三角形,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4 ①(11分)
又∵?②(12分)
∴②2-①,得2|PF1|?|PF2|=20,∴,(13分)
即=5,由(1)得最大值为,故矛盾,
∴不存在一点P,使.(14分)
解析分析:(1)由题意设出椭圆标准方程,根据顶点的坐标和离心率得,根据a2=b2+c2求出a的值,即求出椭圆标准方程;(2)根据(1)求出的椭圆标准方程,求出点M纵坐标的范围,即求出三角形面积的最大值;(3)先假设存在点P满足条件,根据向量的数量积得,根据椭圆的焦距和椭圆的定义列出两个方程,求出的值,结合(2)中三角形面积的最大值,判断出是否存在点P.
点评:本题考查了椭圆方程的求法以及椭圆的性质、向量数量积的几何意义,利用a、b、c、e几何意义和a2=b2+c2求出a和b的值,根据椭圆上点的坐标范围求出相应三角形的面积最值,即根据此范围判断点P是否存在,此题综合性强,涉及的知识多,考查了分析问题和解决问题的能力.
已知中心在原点 长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点(0 ) 离心率为 左 右焦点分别为F1和F2.(1)求椭圆方程;(2)点M在椭圆上 求△MF1F2面积的最大值;(3