已知函数 其中a b∈R g（x）=ex（e是自然对数的底）．（1）当b＜a＜1 f（1）=0

问题补充：

已知函数，其中a、b∈R，g（x）=ex（e是自然对数的底）．

（1）当b＜a＜1，f（1）=0，且函数y=2f（x）+1的零点，证明：；

（2）当b=1时，若不等式f（x）≤g（x）在恒成立，求a的取值范围．

答案：

解：（I）由f（1）=0，得a=-

又b＜a＜1，

∴b＜-＜1，

解得-＜b＜-①

且函数y=2f（x）+1的零点，即x2+2ax+2b+1=0有实根

∴△=4a2-4（2b+1）≥0

将a=-代入化简得：4b2-4b-3≥0

解得b≤-或b≥②

由①②得-＜b≤-．

（II）当b=1时，，由式f（x）≤g（x），

得在恒成立，

即在恒成立，

令，则

令，则h（x）=x（ex-1）

∵

∴h′（x）＞0

即h（x）在上单调递增

∴h（x）≥h=-＞0

∴g（x）＞0

∴g（x）在单调递增

则g（x）≥g==2-

故a≤2-

解析分析：（1）由f（1）=0，结合b＜a＜1，我们可以构造关于b的不等式①，再由函数y=2f（x）+1的零点，即x2+2ax+2b+1=0有实根，根据△≥0，我们可以构造关于b的不等式②，解不等式组即可得到b的范围．（2）由不等式f（x）≤g（x）在恒成立，我们可以得到在恒成立，即在上，a值小于等于函数的最小值，利用导数法求出函数的最值后，即可得到a的取值范围．

点评：本题考查的知识点是函数零点的判定定理，函数恒成立问题，利用导数求闭区间上的函数最值，（1）中根据已知条件构造构造关于b的不等式组是证明的关键；（2）中将不等式f（x）≤g（x）在恒成立，转化为函数恒成立问题是解答的关键．

已知函数 其中a b∈R g（x）=ex（e是自然对数的底）．（1）当b＜a＜1 f（1）=0 且函数y=2f（x）+1的零点 证明：；（2）当b=1时 若不等式f（