问题补充:
已知点H(-3,0),点P在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,点M在直线PQ上,且满足,.
①当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹C;
②过点R(2,1)作直线l与轨迹C交于A,B两点,使得R恰好为弦AB的中点,求直线l的方程.
答案:
解:①设点M(x,y),由,得,,
由,得,所以y2=4x.
又点Q在x轴的正半轴上,得x>0.
所以,动点M的轨迹C是以(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线,除去原点.
②方法一:设直线l:y=k(x-2)+1,其中k≠0,代入y2=4x,
整理得k2x2-(4k2-2k+4)x+(2k-1)2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则,
由,解得:k=2.
所以,直线l的方程为y=2(x-2)+1,
即:y=2x-3.
方法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),
则,,
两式相减?得:.
整理得:,
因为R(2,1)为弦AB的中点,
所以y1+y2=2,
代入上式得,即kAB=2.
所以,直线l的方程为y=2(x-2)+1,
即:y=2x-3
解析分析:①设点M(x,y),由,得,,由,得,所以y2=4x.由此能求出点M的轨迹C.②方法一:设直线l:y=k(x-2)+1,其中k≠0,代入y2=4x,整理得k2x2-(4k2-2k+4)x+(2k-1)2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则,由,解得:k=2.由此能求出直线l的方程为.方法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则,,两式相减?得:.因为R(2,1)为弦AB的中点,所以y1+y2=2,由此能求出直线l的方程.
点评:本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.综合性强,难度大,有一定的探索性,对数学思维能力要求较高,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
已知点H(-3 0) 点P在y轴上 点Q在x轴的正半轴上 点M在直线PQ上 且满足 .①当点P在y轴上移动时 求点M的轨迹C;②过点R(2 1)作直线l与轨迹C交于A