已知函数f（x）=a|x+1|+x（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时 f（x）在[b +∞）上为增函数 求b

问题补充：

已知函数f（x）=a|x+1|+x（a∈R）．

（Ⅰ）当a=2时，f（x）在[b，+∞）上为增函数，求b的取值范围；

（Ⅱ）若函数f?（x）在?R?上具有单调性，求a的取值范围．

答案：

解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=，所以f（x）的单调递增区间是[-1，+∞），

因为f（x）在[b，+∞）上为增函数，所以[b，+∞）?[-1，+∞），故b≥-1

（Ⅱ）化简

①-1＜a＜1时，

当x≥-1时，f（x）=（a+1）x+a是增函数，且f（x）≥f（-1）=-1；

当x＜-1时，f（x）=（1-a）x-a是增函数，且f（x）＜f（-1）=-1．

所以，当-1＜a＜1时，函数f?（x）?在R上是增函数．

②a=1或-1时，易知不合题意．

③当a＞1时，f（x）在[-1，+∞）为增函数，而在（-∞，-1）上为减函数，故函数f（x）在R上不具有单调性；

同理，当a＜1时，函数f（x）在R上也不具有单调性．

综上可知，a的取值范围是?（-1，1）

解析分析：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=，所以f（x）的单调递增区间是[-1，+∞），根据f（x）在[b，+∞）上为增函数，可得[b，+∞）?[-1，+∞），从而可求b的取值范围；（Ⅱ）化简再进行分类讨论：①-1＜a＜1时，函数f?（x）?在R上是增函数；②a=1或-1时，易知不合题意；③当a＞1，a＜1时，函数f（x）在R上不具有单调性，由此可得a的取值范围．

点评：本题考查绝对值函数，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是利用绝对值的几何意义，将绝对值符号化去．

已知函数f（x）=a|x+1|+x（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时 f（x）在[b +∞）上为增函数 求b的取值范围；（Ⅱ）若函数f?（x）在?R?上具有单调性 求a的取