问题补充:
已知三棱锥O-ABC中,OA、OB、OC两两垂直,OC=2x,OA=x,OB=y且x+y=3,则三棱锥O-ABC的体积最大时,其外接球的体积为 ________.
答案:
解析分析:(1)三棱锥O-ABC中,OA、OB、OC两两垂直,可以表示出三棱锥O-ABC的体积V的函数;这是x的三次函数,用求导法得最大值.(2)三棱锥O-ABC的体积取得最大值时,OB=1,OA=2,OC=4且两两垂直;建立空间直角坐标系,可以求出外接圆的半径,从而求出外接圆的体积.
解答:解:如图(1),在三棱锥A-OBC中,OA⊥OB,OA⊥OC,∴OA⊥平面OBC;又OB⊥OC,∴△OBC是Rt△;所以三棱锥A-OBC的体积为:V===?=;又x+y=3,∴V==,(x>0);对V求导数,得V′=-x2+2x;令-x2+2x=0,得x=2,或x=0(舍去);所以,当x=2,y=1时,V=取最大值.???? 如图(2),建立空间直角坐标系;∵OB=1,OA=2,OC=4;则O(0,O,O),B(1,0,0),A(0,0,2),C(0,4,0),设三棱锥的外接球球心P(x,y,z);?外接球的半径R=PA=PB=PC=PO,∴x2+y2+(z-2)2=x2+y2+z2,得z=1;(x-1)2+y2+z2=x2+y2+z2,得x=;x2+(y-4)2+z2=x2+y2+z2,得y=2;此时可求出外接球的半径R=.所以,三棱锥外接球的体积为:V==.
点评:本题以三棱锥的体积,球的体积公式的应用为载体;考查了用导数法求三次函数的最值,和建立空间直角坐标系求距离;是有难度的小题.我们这样小题大作也很好.
已知三棱锥O-ABC中 OA OB OC两两垂直 OC=2x OA=x OB=y且x+y=3 则三棱锥O-ABC的体积最大时 其外接球的体积为________.