对于定义域为D的函数y=f（x） 如果存在区间[m n]D 同时满足：①f（x）在[m n]内是

问题补充：

对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]D，同时满足：

①f（x）在[m，n]内是单调函数；

②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．

则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．

（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．

（2）求证：函数不存在“和谐区间”．

（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n-m的最大值．

答案：

解：（1）∵y=x2在区间[0，1]上单调递增．

又f（0）=0，f（1）=1，∴值域为[0，1]，∴区间[0，1]是y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．

（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，[m，n]（-∞，0）或[m，n]?（0，+∞），

故函数在[m，n]上单调递增．

若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则

故m、n是方程的同号的相异实数根．∵x2-3x+5=0无实数根，∴函数不存在“和谐区间”．

（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，[m，n]（-∞，0）或[m，n]（0，+∞），故函数在[m，n]上单调递增．

若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则

故m、n是方程，即a2x-（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根．∵，∴m，n同号，只须△=a2（a+3）（a-1）＞0，即a＞1或a＜-3时，已知函数有“和谐区间”[m，n]，∵，∴当a=3时，n-m取最大值

解析分析：（1）根据二次函数的性质，我们可以出y=f（x）=x2在区间[0，1]上单调递增，且值域也为[0，1]满足“和谐区间”的定义，即可得到结论．

（2）该问题是一个确定性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间[m，n]为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立．

（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集，我们可以用a表示出n-m的取值，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，可以得到

对于定义域为D的函数y=f（x） 如果存在区间[m n]D 同时满足：①f（x）在[m n]内是单调函数；②当定义域是[m n]时 f（x）的值域也是[m n]．则称