问题补充:
在平面直角坐标系中,把矩形OABC的边OA、OC分别放在x轴和y轴的正半轴上,已知OA=,OC=2.
(1)直接写出A、B、C三点的坐标;
(2)将矩形OABC绕点O逆时针旋转x°,得到矩形OA1B1C1,其中点A的对应点为点A1.
①当0<x<90时,设AC交OA1于点K(如图1),若△OAK为等腰三角形,请直接写出x的值;
②当x=90时(如图2),延长AC交A1C1于点D,求证:AD⊥A1C1;
③当点B1落在y轴正半轴上时(如图3),设BC与OA1交于点P,求过点P的反比例函数的解析式;并探索:该反比例函数的图象是否经过矩形OABC的对称中心?请说明理由.
答案:
解:(1)A,B,C(0,2).
(2)①x的值为30°或75°,
②由题意得:△OAC≌△OA1C1.
∴∠OAC=∠OA1C1.
∴∠OAC+∠OC1A1=∠OA1C1+∠OC1A1=90°,
∴∠ADC1=90°,
∴AD⊥A1C1
③在Rt△OA1B1中,
∵,
∴,
∴∠A1OB1=30°
在Rt△OCP中,
∴.
设反比例函数为,把代入,得,即.
设矩形OABC的对角线OB、AC相交于点Q,则Q是矩形OABC的对称中心,且点Q的坐标为.
把代入,得.
∴反比例函数的图象不经过矩形OABC的对称中心.
解析分析:(1)由已知OA=,OC=2.可直接得出A、B、C三点的坐标;
(2)①根据△OAK为等腰三角形,利用等腰三角形的性质可求的x的值为30°或75;
②由题意得:△OAC≌△OA1C1.然后求证∠OAC+∠OC1A1=∠OA1C1+∠OC1A1=90°,得∠ADC1=90°即可,
③根据,利用三角函数求得∠A1OB1=30°,设反比例函数为,把代入,求得,然后可证反比例函数的图象不经过矩形OABC的对称中心.
点评:此题主要考查矩形的性质,待定系数法求反比例函数解析式,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,旋转的性质,解直角三角形等知识点的理解和掌握,此题综合性强,有一定的拔高难度,属于难题.
在平面直角坐标系中 把矩形OABC的边OA OC分别放在x轴和y轴的正半轴上 已知OA= OC=2.(1)直接写出A B C三点的坐标;(2)将矩形OABC绕点O逆时