问题补充:
如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,△AOB为等边三角形,点A的坐标是(,0),点B在第一象限,AC是∠OAB的平分线,并且与y轴交于点E,点M为直线AC上一个动点,把△AOM绕点A顺时针旋转,使边AO与边AB重合,得到△ABD.
(1)求直线OB的解析式;
(2)当点M与点E重合时,求此时点D的坐标;
(3)设点M的纵坐标为m,求△OMD的面积S关于m的函数解析式.
答案:
解:(1)点A的坐标是(4,0),
4÷2=2,4sin60°=6,
∴点B的坐标是B(2,6),
设直线OB的解析式是y=kx,
则2k=6,
解得k=,
∴直线OB的解析式是y=x;
(2)如图1,由题意DA⊥x轴,∠EAO=∠BAD=30°.
∴点D的横坐标为;????????????????…
此时DA=AE===8,
∴点D的坐标是(,8).…
(3)过M作MN⊥x轴,则MN=|m|,∠MAN=30°,
当m>4时,AN=MNcot30°=m,DA=AM=m÷sin30°=2m,
①如图2,S=S梯形ADMN-S△OMN-S△AOD,
=(m+2m)?m-(m-4)?m-×4×2m,
=m2-2m;…
②如图3,当2<m≤4时,S=S梯形ADMN+S△OMN-S△AOD,
=(m+2m)?m+(4-m)?m-×4×2m,
=m2-2m;?…
③如图4,当0≤m≤2时,S=S△AOD-S△OMN-S梯形ADMN,
=×4×2m-(4-m)?m-(m+2m)?m,
=-m2+2m;?????????????…
④如图5,当m<0时,S=S梯形ADMN+S△AOD-S△OMN,
=(m+2m)?m+×4×2m-(m+4)?m,
=m2+2m;????????…
∴S=.
(四种情况讨论正确一种给1分)
解析分析:(1)根据点A的坐标及△AOB为等边三角形求出点B的坐标,然后利用待定系数法求直线OB的解析式;
(2)过点D作DA⊥x轴,则点D的横坐标与点A的横坐标相同,纵坐标等于AE的长度,在Rt△AOE中,∠OAE=30°,利用30°角的余弦即可求解;
(3)根据点A的坐标求出等边三角形的高是4,过点M作MN垂直x轴于点N,然后分①m>4时,②2<m<4时,③0<x<2时,④m<0时点M的不同位置,根据△OMD的面积S,梯形ADMN的面积,△MNO的面积,△AOD的面积之间的关系列式分别求解.
点评:本题是对一次函数的综合考查,包括待定系数法求函数解析式,等边三角形的每一个角都是60°,三边都相等,旋转变换的性质,(3)中要注意分情况讨论,比较麻烦,计算时一定要细心.
如图 在平面直角坐标系中 O为坐标原点 △AOB为等边三角形 点A的坐标是( 0) 点B在第一象限 AC是∠OAB的平分线 并且与y轴交于点E 点M为直线AC上一个动