问题补充:
如图,在等腰△ABC中,AB=AC=13cm,BC=10cm,AD⊥BC,垂足为点D.点P,Q分别从B,C两点同时出发,其中点P从点B开始沿BC边向点C运动,速度为1cm/s,点Q从点C开始沿CA边向点A运动,速度为2cm/s,设它们运动的时间为x(s).
(1)当x为何值时,将△PCQ沿直线PQ翻折180°,使C点落到C点,得到的四边形CQCP是菱形?
(2)设△PQD的面积为y(cm2),当0<x<6.5时,求y与x的函数关系式.
(3)当0<x<5时,是否存在x,使得△PDM与△MDQ(M为PQ与AD的交点)的面积比为3:5,若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)PC=10-x,CQ=2x要使四边形CQCP是菱形,
则PC=CQ即10-x=2x.解得x=.∴当x=时,
四边形CQCP是菱形;
(2)过点Q作QE⊥BC,垂足为E,
∵AB=AC=13cm,BC=10cm,AD⊥BC,
∴由勾股定理可得AD=12cm.
①当0<x<5时,∵QE∥AD∴△QEC∽△ADC,
∴即,又PD=5-x,
∴y=.即y=,
②当5<x<6.5时,y=.;
(3)当0<x<5时,PQ与AD交于M,存在符合条件的x.
理由如下:过点Q作QF⊥AD,垂足为F,
∵FQ∥PD,
∴S△PDM:S△DQM=PM:QM=PD:QF=3:5,
在Rt△QEC中,EC=CQ?cos∠ACD=,QF=DE=DC-EC=,PD=5-x,
∴,
解得x=,
∴当x=时,△PDM与△MDQ的面积比为3:5
解析分析:(1)先表示PC、CQ,只有当PC=CQ时,四边形CQCP是菱形,列方程求x即可;
(2)过点Q作QE⊥BC,根据①0<x<5,②5<x<6.5,分类列出函数关系式;
(3)存在.过点Q作QF⊥AD,垂足为F,根据等高的两个三角形的面积比得S△PDM:S△DQM=PM:QM,由FQ∥PD,得PM:QM=PD:QF,把相关线段用x表示,列方程求x即可.
点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,菱形的性质,翻折问题,勾股定理的运用.关键是根据图形特点作辅助线,构造三角形相似.
如图 在等腰△ABC中 AB=AC=13cm BC=10cm AD⊥BC 垂足为点D.点P Q分别从B C两点同时出发 其中点P从点B开始沿BC边向点C运动 速度为1