问题补充:
如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,CD是⊙O的切线,C为切点,AD⊥CD于点D.
(1)求证:∠AOC=2∠ACD;
(2)若AB=12,AD=2,求AC的长.
答案:
(1)证明:连接BC,
∵CD是⊙O的切线,
∴∠OCD=90°,
即∠ACD+∠ACO=90°.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠BAC+∠B=90°,
∵OC=OA,
∴∠ACO=∠CAO,
∴∠ACD=∠B,
∴∠AOC=2∠B=2∠ACD;
(2)解:∵AD⊥CD,
∴∠ADC∠ACB=90°,
∵∠ACD=∠B,
∴△ACD∽△ABC,
∴,
∵AB=12,AD=2,
∴AC==2.
解析分析:(1)首先连接BC,由AB是⊙O的直径,CD是⊙O的切线,可得∠ACD+∠ACO=90°,∠BAC+∠B=90°,继而可证得∠AOC=2∠B=2∠ACD;
(2)易证得△ACD∽△ABC,然后由相似三角形的对应边成比例,可求得AC的长.
点评:此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
如图 AB是⊙O的直径 AC是弦 CD是⊙O的切线 C为切点 AD⊥CD于点D.(1)求证:∠AOC=2∠ACD;(2)若AB=12 AD=2 求AC的长.