问题补充:
函数y=f(x)定义在R上,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)?f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.
Ⅰ.求证:f(0)=1;
Ⅱ.当x<0时,比较f(x)与1的大小;
Ⅲ.判断f(x)在R上的单调性,并证明你的结论;
Ⅳ.如果,试求f(2002)的值.
答案:
证明:(I)∵对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)?f(n)
令m=1,(1)=f(1)f(0)
∵x>0时,0<f(x)<1
∴0<f(1)<1
∴f(0)=1
(II)当x<0时,-x>0,则0<f(-x)<1
∵f(0)=f(x)f(-x)=1
∴
∴f(x)>1
(Ⅲ)设x1<x2则x1-x2<0
由II可得f(x1-x2)>1
∵f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)>f(x2)
∴函数f(x)单调递减
(IV)∵f(3)=f(1)f(2)=f3(1)=
∴
∵f(m+n)=f(m)?f(n)对任意的m,n都成立
f(2002)=f2002(1)=
解析分析:(I)由f(m+n)=f(m)?f(n),令m=1,(1)=f(1)f(0)及x>0时,0<f(x)<1可求f(0)
(II)当x<0时,-x>0,则0<f(-x)<1,而f(0)=f(x)f(-x)=1可得,从而可得f(x)与1的大小
(III)设x1<x2则x1-x2<0,由II可得f(x1-x2)>1,而f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)可判断函数的单调性
(IV)由f(3)=f(1)f(2)=f3(1)=可求f(1),进而可求f(2002)
点评:本题主要考查了抽象函数的函数值的求解,主要采用的赋值法,构造x1=x1-x2+x2,是证明函数的单调性的 关键,属于函数知识的综合应用.
函数y=f(x)定义在R上 对于任意实数m n 恒有f(m+n)=f(m)?f(n) 且当x>0时 0<f(x)<1.Ⅰ.求证:f(0)=1;Ⅱ.当x<0时 比较f(