问题补充:
如图,矩形纸片OABC放在直角坐标系中,使点O为坐标原点,边OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上,且OA=5,OC=3,将矩形纸片折叠,使点O落在线段CB上,设落点为P,折痕为EF.
(1)当CP=2时,恰有OF=,求折痕EF所在直线的函数表达式;
(2)在折叠中,点P在线段CB上运动,设CP=x(0≤x≤5),过点P作PT∥y轴交折痕EF于点T,设点T的纵坐标为y,请用x表示y,并判断点T运动形成什么样的图象;
(3)请先探究,再猜想:怎样折叠,可使折痕EF最长?并计算出EF最长时的值.(不要求证明)
答案:
解:(1)设OE=y,则CE=3-y,
∵点P是点0关于直线EF翻折的对称点,
在Rt△PCE中,有CE2+CP2=PE2,y=,OF=,
∴点E、F的坐标分别是(0,),(,0),
∴折痕EF所在直线的解析式为y=-+.
(2)由题意,点T的坐标为(x,y),连接OP,交EF于点H,
∵由已知得点0折叠后落到点P上,由翻折的对称性可知,
∴EF为OP的垂直平分线,
∴OH=PH,
∴Rt△PTH≌Rt△OEH,
∴PT=OE,
Rt△OEH∽Rt△OPC,
UP=x,
OE===PT,
又PT=3-y,
y=-+(0≤x≤5),
所以点T运动形成的图形是开口向下的抛物线的一部分,
另法:由题意:点T的坐标为(x,y),连接OP、OT.
由翻折性质得:OT=PT,
OT2=x2+y2,PT=3-y,
∴x2+y2=9-6y+y2
∴y=(0≤x≤5),
所以点T运动形成的图形是开口向下的抛物线的一部分.
(3)猜想:当点F与点A重合时,折痕EF最长,
此时,仍设CP=x,EA为OP的垂直平分线,则有:EA⊥OP,
∴Rt△EOA∽Rt△PCO.
OE=.
又由(2)可知:OE=,
解得x=1或x=9,
又∵O≤x≤5,
∴x=1,
∴OE=,
∵在Rt△OEA中,OA=5.
∴EF=.
解析分析:(1)Rt△PCE中,根据勾股定理得到OE,CE,得到点E、F的坐标,根据待定系数法求函数解析式.
(2)易证Rt△PTH≌Rt△OEH,进而证明Rt△OEH∽Rt△OPC,就可以求出y与x的函数解析式.
(3)猜想:当点F与点A重合时,折痕EF最长,易证Rt△EOA∽Rt△PCO,就可以解决.
点评:本题主要考查了待定系数法求函数解析式,是三角形与函数的综合题,难度较大.
如图 矩形纸片OABC放在直角坐标系中 使点O为坐标原点 边OA OC分别落在x轴 y轴的正半轴上 且OA=5 OC=3 将矩形纸片折叠 使点O落在线段CB上 设落点