问题补充:
如图:在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在x轴上,顶点B(4,2)在抛物线y=ax2+bx上,且抛物线交x轴于另一点D(6,0),抛物线的对称轴交BC边于E,直线AE分别交y轴于F、交OB于P.
(1)求抛物线对应的二次函数解析式;
(2)若以点O为圆心,OP为半径作⊙O,试判断AE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(3)若动直线MN⊥x轴于N交抛物线于M,且在y轴的右侧运动,是否存在点M使得△AMN与△ABP相似?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)由题意知:抛物线经过B(4,2),D(6,0),则有:
,
解得;
∴抛物线的解析式为:.
(2)相切,理由如下:
∵O(0,0)、D(6,0),且O、D关于抛物线的对称轴对称,
∴该抛物线的对称轴为:x=3;
故CE=3,BE=1;
又∵OA=4,AB=2,
∴=2;
∵∠ABE=∠OAB=90°,
∴△ABE∽△OAB,
故∠AEB=∠OBA;
∵∠AEB=∠BAP=90°,则∠BAP+∠OBA=90°,
∴∠APB=90°,即AE⊥OP;
而OP为⊙O的直径,故直线AE与⊙P相切.
(3)假设存在符合条件的M点,
设N(a,0),则M(a,-a2+a);
由(2)知AE⊥OP,在Rt△ABP中,则有:
△BPE∽△APB,
故AP:PB=AB:BE=2:1,即AP=2PB;
若△AMN与△ABP相似,则AN=2MN或MN=2AN;
①当点N在A点左侧时(0<a<4),AN=4-a,MN=-a2+a;
当AN=2MN时,4-a=2(-a2+a),解得:a=4+2(舍去),a=4-2;
当MN=2AN时,2(4-a)=-a2+a,解得:a=7+(舍去),a=7-;
故M(7-,2-6)或M(4-2,);
②当点N在A点右侧时;
1)当M在x轴上方时(4<a<6),AN=a-4,MN=-a2+a;
当AN=2MN时,a-4=2(-a2+a),解得:a=2-2(舍去),a=2+2;
当MN=2AN时,2(a-4)=-a2+a,解得:a=-1-(舍去),a=-1+;
故M(-1+,2-10)或M(2+2,-1);
2)当M在x轴下方时(a>6),AN=a-4,MN=a2-a;
当AN=2MN时,a-4=2(a2-a),解得:a=4-2(舍去),a=4+2;
当MN=2AN时,2(a-4)=a2-a,解得:a=7-(舍去),a=7+;
故M(4+2,-)或M(7+,-2-6);
综上所述,存在六个符合条件的M点,且它们的坐标为:
、、、、、M6(2+2,-1).
解析分析:(1)将B、D的坐标代入抛物线的解析式中,通过联立方程组即可确定该抛物线的解析式.
(2)由图观察,⊙O可能与直线AE相切,然后着手证明,分析图形可知通过相似来证明OP⊥AE较简单;由于O、D关于抛物线对称轴对称,即可确定该抛物线对称轴方程,进而可得到CE、BE的长,根据B点坐标易求出AB、OA的长,通过证△ABE∽△OAB,可得到∠AEB=∠ABO,而∠ABE、∠BAE互余,那么∠BAE和∠ABP互余,由此可证得∠APB=90°即AE⊥OP,已知OP是⊙P的半径,即可证得直线AE与⊙O相切.
(3)此题较复杂,应该分情况讨论;首先易证得△ABP∽△BEP,即可得到BP、AP的比例关系为AP=2BP,若△AMN和△ABP相似,那么MN=2AN或AN=2MN,然后设出点N的坐标,进而可表示出点M的坐标;然后表示出MN、AN的表达式,根据①N在点A左侧,②N在点A右侧两种情况下AN的不同表达式,以及上面所得AN、MN的等量关系,列方程求得M点的坐标.(注意:②中应该分M在x轴上方和x轴下方两种情况求解.)
点评:此题是二次函数的综合题,涉及到:矩形的性质、二次函数解析式的确定、切线的判定、相似三角形的判定和性质等重要知识点.(3)题中,由于相似三角形的对应边和对应角以及M点的位置也不明确,一定要分类讨论,以免漏解.
如图:在平面直角坐标系xOy中 矩形OABC的边OA在x轴上 顶点B(4 2)在抛物线y=ax2+bx上 且抛物线交x轴于另一点D(6 0) 抛物线的对称轴交BC边于