问题补充:
如图,抛物线y=-x2+12x-30的顶点为A,对称轴AB与x轴交于点B.在x上方的抛物线上有C、D两点,它们关于AB对称,并且C点在对称轴的左侧,CB⊥DB.
(1)求出此抛物线的对称轴和顶点A的坐标;
(2)在抛物线的对称轴上找出点Q,使它到A、C两点的距离相等,并求出点Q的坐标;
(3)延长DB交抛物线于点E,在抛物线上是否存在点P,使得△DEP的面积等于△DEC的面积?若存在,请你直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
提示:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为,顶点坐标为.
答案:
解:(1)∵y=-x2+12x-30=-(x-6)2+6
∴此抛物线的对称轴为x=6,顶点A的坐标(6,6).
(2)∵C、D关于AB对称,
∴BC=BD,CD∥x轴;
又∵CB⊥DB,
∴△BCD是等腰直角三角形,
∴∠DCB=45°,即△BCG为等腰直角三角形,CG=BG;
设点C的横坐标为a,则CG=6-a,BG=CG=6-a,即C(a,6-a),代入y=-x2+12x-30,得:
6-a=-a2+12a-30,解得:a1=4、a2=9(舍)
∴C(4,2);
设Q(6,m),则AQ=6-m,CQ=
∵AQ=CQ,
∴6-m=,
解得m=
∴Q(6,).
(3)设直线DE的解析式:y=kx+b,代入D(8,2)、B(6,0),得:
,
解得
故直线DE:y=x-6;
若△DEP的面积等于△DEC的面积,则点C、P到直线DE的距离相等;
①过点C作直线l1∥DE,可设其解析式为:y=x+b1,代入C(4,2)解得:b1=-2;
即:直线l1 y=x-2,联立抛物线的解析式有:
,
解得、
故P1(7,5).
②过点D作DF∥CB,交x轴于点F,则四边形DCBF为平行四边形,且有:DF⊥DE,BF=CD=4,即F(10,0);
过点F作直线l2∥DE,同①易求得直线l2:y=x-10,联立抛物线的解析式,有:
,
解得、
故P2(,)、P3(,).
综上,符合条件的点P的坐标为P1(7,5)、P2(,)、P3(,).
解析分析:(1)将已知的抛物线解析式化为顶点式,即可得到抛物线对称轴方程以及顶点的坐标.
(2)此小题首先要求出点C的坐标;对于Rt△CBD来说,C、D关于抛物线对称轴对称,则CB=BD,那么△CBD是等腰直角三角形,若设抛物线对称轴与CD的交点为G,那么△BCG也是等腰直角三角形,可先设出点C的横坐标,再由Rt△BCG的特殊形状表示出点C的纵坐标,代入抛物线的解析式中即可求出点C的坐标.抛物线对称轴已知,设出点Q的纵坐标后,依坐标系两点间的距离公式表示出CQ、AQ的长,由CQ=AQ列出方程求出点Q的坐标.
(3)若△DEP、△DEC的面积相等,那么点P与点C到直线DE的距离相同;
①过点C作平行于DE的直线,该直线与抛物线的交点为符合条件的点P,此时点P、C到直线DE的距离相同;
②过点D作DF∥BC,交x轴于点F,此时四边形DCBF是平行四边形,那么DF⊥DE,且DF=BC,那么过点F与直线DE平行的直线与抛物线的交点也是符合条件的点P.
点评:此题考查了了二次函数、等腰直角三角形、平行四边形等综合知识;(2)题中,由抛物线的对称性得出△BCD的特殊形状,进而得出C点的坐标是解题的突破口;最后一题,找出经过点P且与直线DE平行的两条直线是解题的关键,容易漏解.
如图 抛物线y=-x2+12x-30的顶点为A 对称轴AB与x轴交于点B.在x上方的抛物线上有C D两点 它们关于AB对称 并且C点在对称轴的左侧 CB⊥DB.(1)