问题补充:
已知:如图,梯形ABCD中,AB∥DC,E是BC的中点,AE、DC的延长线相交于点F,连接AC、BF.
(1)求证:AB=CF;
(2)若将梯形沿对角线AC折叠恰好D点与E点重合,梯形ABCD应满足什么条件,能使四边形ABFC为菱形?并加以证明;
(3)在(2)的条件下求sin∠CAF的值.
答案:
(1)证明:∵AB∥DC,
∴∠FCE=∠ABE,∠CFE=∠BAE.
又E是BC的中点,
∴△ABE≌△FCE.
∴AB=CF.
(2)解:梯形ABCD应满足∠ADC=90°,CD=BC.
理由如下:
∵AB∥CF,AB=CF,
∴四边形ABFC是平行四边形.
要使它成为菱形,只需AF⊥BC.
根据将梯形沿对角线AC折叠恰好D点与E点重合,得
∠ADC=90°,CD=BC.
(3)解:∵四边形ABFC为菱形,
∴AC=CF.
∴∠CAF=∠AFC.
∴∠ACD=∠CAF+∠AFC=2∠CAF.
由于是折叠,得∠CAD=∠CAF.
∴∠ACD=2∠CAD.
又∠ADC=90°,
∴∠CAF=∠CAD=30°.
∴sin∠CAF=.
解析分析:(1)根据AAS或ASA可以证明△ABE≌△FCE,从而证明AB=CF;
(2)根据(1)的结论,知四边形ABFC是平行四边形,要使它成为菱形,则需AF⊥BC于E.结合折叠的方法,则∠ADC=∠AEC=90°,CD=BC;
(3)根据四边形ABFC为菱形,得AC=CF,则∠CAF=∠AFC;根据三角形的外角的性质,得∠ACD=2∠CAF;根据折叠,得∠CAD=∠CAF,则∠ACD=2∠CAD,从而求得∠CAF=30°,进而求其正弦值.
点评:此题综合运用了全等三角形的判定及性质、菱形的判定及性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质以及折叠的性质.
已知:如图 梯形ABCD中 AB∥DC E是BC的中点 AE DC的延长线相交于点F 连接AC BF.(1)求证:AB=CF;(2)若将梯形沿对角线AC折叠恰好D点与