问题补充:
如图,在平面直角坐标系中,已知△AOB是等腰三角形,OB=AB,∠OBA=120°,点B的坐标是(0,4),点A在第一象限.点R是x轴上的一个动点,连接BR,并把△BOR绕着点B按逆时针方向旋转,使边BO与BA重合,得到△BAQ.
(1)求点A的坐标;
(2)当点R运动到点(,0)时,求此时点Q的坐标;
(3)当点Q落在x轴上时,请直接写出点R的坐标;
(4)是否存在点R,使△ORQ的面积等于?若存在,请求出所有符合条件的点R的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)如图1,过点A作AE⊥x轴于点E,作AF⊥y轴于点F,
则AF=AB?sin∠ABF=,
BF=AB?cos∠ABF=2,
∴AE=OF=4+2=6,
∴点A的坐标为(,6).
(2)如图2,
∵△BAQ由△BOR旋转得到,∴△BAQ≌△BOR.
∴AQ=OR=,∠BAQ=∠BOR=90°.
过点Q作AE的垂线交EA的延长线于点H,交y轴于点N,
则∠BAE=60°,∠QAH=30°.
在Rt△AHQ中,AH=AQ?cos30°=1,QH=AQ?sin30°=.
∴QN=,HE=6+1=7.
∴点Q的坐标为(,7).
(3)此时点R在x轴的负半轴,
∠OBQ=60°,则∠RBO=60°,
已知OB=4,
在Rt△OBR中:OR=4,
∴点R(,0).
(4)假设存在点R,在它的运动过程中,使△ORQ的面积等于.设点R的坐标为(t,0),下面分三种情况讨论.
①当t>0时,如图3,
AQ=OR=t,AH=,HE=,
∴
解得,(舍去).
②当时,如图4,
AQ=OR=-t,AH=,HE=.
∴
解得,.
③当时,如图5,
AQ=OR=-t,AH=,HE=.
∴
解得(舍去),.
∴符合条件的点R的坐标为(,0)或(,0)或(,0)或(,0).
解析分析:(1)过A点作x轴、y轴的垂线AE、AF,解直角三角形求AE、AF即可.
(2)过点Q作AE的垂线交EA的延长线于点H,交y轴于点N.依题意得∠BAE=60°,∠QAH=30°.解Rt△AHQ得AH、QH,再利用A点的坐标求QN,HE,即为Q点的横、纵坐标;
(3)此时点R在x轴的负半轴,∠OBQ=60°,则∠RBO=60°,已知OB=4,解Rt△OBR可求OR,再表示R点的坐标;
(4)设点R的坐标为(t,0),根据t>0,-4≤t≤0,t<-4,分别求解.
点评:本题考查了坐标系中点的坐标的求解方法,综合运用了解直角三角形的知识.
如图 在平面直角坐标系中 已知△AOB是等腰三角形 OB=AB ∠OBA=120° 点B的坐标是(0 4) 点A在第一象限.点R是x轴上的一个动点 连接BR 并把△B