问题补充:
如图,抛物线y=ax2+2ax+b与直线y=x+1交于A、C两点,与y轴交于B,AB∥x轴,且S△ABC=3,D、E是直线y=x+1与坐标轴的交点,
(1)求抛物线的解析式;
(2)在坐标轴上找出所有的点F,使△CEF与△ABD相似,直接写出它的坐标;
(3)P为x轴上一点,Q为此抛物线上一点,是否存在P,使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)∵对称轴为直线x=-1,
∴由对称性可得AB=2,
???则BD=AB=2,
又∵D(0,1),
∴B(0,-1),A(-2,-1),
由S△ABC=3,得AB边上的高线长为3,
∴C(1,2),
把B(0,-1),C(1,2)代入抛物线得:,
解得:a=1,b=-1,
∴抛物线的解析式为 y=x2+2x-1.
(2)符合条件的点有2个:如图①CF⊥x轴于F,则此时△CEF和△ABD相似,
∵C(1,2),
∴F(1,0),
②作EC⊥CF′,交x轴于F′,此时△CEF′和△ABD相似,
∵OD=OE=1,
EF=FF′=1+1=2,
∴F(3,0);
(3)设P(a,0),
若AC为边,则Q(a+3,3),
∴(a+3)2+2(a+3)-1=3,
∴a1=-4+,a2=-4-
∴P(-4+,0)或(-4-,0),
若AC为对角线,则Q(-1-a,1),
∴(-1-a)2+2(-1-a)-1=1,
∴a1=,a2=-,
∴P(,0)或(-,0).
解析分析:(1)利用已知条件求出B,C两点的坐标,再把其横纵坐标分别代入抛物线y=ax2+2ax+b求出a和b的值即可;
(2)如图①CF⊥x轴于F,则此时△CEF和△ABD相似,②作EC⊥CF′,交x轴于F′,此时△CEF′和△ABD相似,分别写出符合题意的F的坐标即可;
(3)设P(a,0),若AC为边,则Q(a+3,3),若AC为对角线,则Q(-1-a,1),再根据已知条件求出满足题意a的值,即可求出P的坐标.
点评:此题考查了二次函数解析式的确定、关于x轴对称的点的坐标特征、函数图象上的点的坐标意义以及平行四边形的判定和性质等知识.(3)题中,一定要把所有的情况都考虑到,做到不漏解.
如图 抛物线y=ax2+2ax+b与直线y=x+1交于A C两点 与y轴交于B AB∥x轴 且S△ABC=3 D E是直线y=x+1与坐标轴的交点 (1)求抛物线的解