问题补充:
已知f(x)=lnx,g(x)=+mx+(m<0),直线l与函数f(x)的图象相切,切点的横坐标为1,且直线l与函数g(x)的图象也相切.
(1)求直线l的方程及实数m的值;
(2)若h(x)=f(x+1)-g′(x)(其中g′(x)是g(x)的导函数),求函数h(x)的最大值;
(3)当0<b<a时,求证:f(a+b)-f(2a)<.
答案:
解:(1)∵,∴f(1)=1.
∴直线l的斜率为1,且与函数f(x)的图象的切点坐标为(1,0).
∴直线l的方程为y=x-1.
又∵直线l与函数y=g(x)的图象相切,
∴方程组 有一解.
由上述方程消去y,并整理得x2+2(m-1)x+9=0①
依题意,方程①有两个相等的实数根,
∴△=[2(m-1)]2-4×9=0
解之,得m=4或m=-2
∵m<0,∴m=-2.
(2)由(1)可知 ,
∴g(x)=x-2∴h(x)=ln(x+1)-x+2(x>-1).
∴.
∴当x∈(-1,0)时,h(x)>0,当x∈(0,+∞)时,h(x)<0.
∴当x=0时,h(x)取最大值,其最大值为2,
(3)f(a+b)-f(2a)=ln(a+b)-ln2a=ln=ln(1+).
∵0<b<a,∴-a,∴.
由(2)知当x∈(-1,0)时,h(x)<h(0)∴当x∈(-1,0)时,ln(1+x)<x,
ln(1+)<
.∴f(a+b)-f(2a)<
解析分析:(1)先根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数,得到切线的斜率,再利用点斜式方程求出切线方程,最后将切线方程与 联立方程组,使方程组只有一解,利用判别式建立等量关系,求出m即可;
(2)先求出h(x)的解析式,根据极值与最值的求解方法,将f(x)的各极值与其端点的函数值比较,其中最大的一个就是最大值;
(3)f(a+b)-f(2a)=ln(a+b)-ln2a=ln=ln(1+).由(2)知当x∈(-1,0)时,h(x)<h(0)由ln(1+x)<x,
ln(1+)<即可得出f(a+b)-f(2a)<.
点评:本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及利用导数求闭区间上函数的最值等基础题知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查化归与转化思想,属于基础题.
已知f(x)=lnx g(x)=+mx+(m<0) 直线l与函数f(x)的图象相切 切点的横坐标为1 且直线l与函数g(x)的图象也相切.(1)求直线l的方程及实数m