问题补充:
已知:正方形ABCD边长为4cm,E,F分别为CD,BC的中点,动点P在线段AB上从B?A以2cm/s的速度运动,同时动点Q在线段FC上从F?C以1cm/s的速度运动,动点G在PC上,且∠EGC=∠EQC,连接PD.设运动时间为t秒.
(1)求证:△CQE∽△APD;
(2)问:在运动过程中CG?CP的值是否发生改变?如果不变,请求这个值;若改变,请说明理由;
(3)当t为何值时,△CGE为等腰三角形并求出此时△CGE的面积.
答案:
(1)证明:∵FQ=t,BP=2t,
∴QC=2-t,AP=4-2t,
∴,
∵∠QCE=∠A=90°,
∴△CQE∽△APD.
(2)解:CG?CP的值是一个定值.
∵△CQE∽△APD,
∴∠CQE=∠APD,
∵正方形ABCD中AB∥CD,
∴∠APD=∠PDC,
∵∠EGC=∠EQC,
∴∠EGC=∠PDC,
∵∠PCD=∠PCD,
∴△CGE∽△CDP,
∴,
∴CG?CP=CD?CE=4×2=8.
(3)解:∵△CGE∽△CDP,
∴△CGE和△CDP的形状相同.
①t=0时△CDP为等腰三角形,则△CGE也为等腰三角形.
S△CGE=2.
②t=1时△CDP为等腰三角形,则△CGE也为等腰三角形.
∵,
∴,
S△CGE=.
③t=2的时候∠EGC不存在.
综上所述t=0时,△CGE为了等腰三角形面积为2,
t=1时,△CGE为等腰三角形面积为.
解析分析:(1)首先求出QC=2-t,AP=4-2t,求出线段比然后可证明△CQE∽△APD.
(2)依题意证得△CQE∽△APD后推出∠EGC=∠PDC,然后再证明△CGE∽△CDP利用线段比可证得CG?CP=CD?CE.
(3)由(2)得△CGE∽△CDP,要分三种情况讨论t的取值然后才能求出△CGE的面积.
点评:本题考查了正方形的性质,相似三角形的判定,线段的比等知识,难度中上.
已知:正方形ABCD边长为4cm E F分别为CD BC的中点 动点P在线段AB上从B?A以2cm/s的速度运动 同时动点Q在线段FC上从F?C以1cm/s的速度运动